Les distances de tous les points étant calculées, on procède au tracé du plan. Il s'exécute sur un papier divisé en carreaux de 10 mètres de côté par deux systèmes de lignes, parallèles et perpendiculaires au plan méridien coordonné. Chaque point se place dans le carré convenable, et à l'endroit du carré où il doit se trouver, d'après les valeurs de ses coordonnées horizontales, sans avoir égard à la position des points qui précèdent ou qui suivent. On trace ensuite au sentiment, et d'après les notes prises sur les lieux, le contour des excavations. Les coordonnées verticales servent à tracer le profil.

Il importe peu que la division en carreaux soit exacte ainsi que la position relative des points sur le plan. Celui-ci ne sert en effet qu'à faire saisir d'un coup d'œil l'ensemble des excavations souterraines, et l'on pourrait à la rigueur s'en passer, le tableau des coordonnées des points en tenant lieu. C'est à ce tableau que l'on a recours et non au plan, toutes les fois que l'on veut donner des directions de galeries ou travaux quelconques qui exigent de l'exactitude.

VII. Pour en donner un exemple, soit proposé de déterminer la longueur, la direction et l'inclinaison d'une galerie allant en ligne droite d'un point A à un autre point B du plan.

Soient a, b, c, la hauteur, la longitude et la latitude du point A.

a', b', d, les coordonnées semblables de B. La longueur de la galerie demandée sera égale à

V ( a − a)2 + ( b' — b)2 + (c' — c )2

(1).

l'inclinaison de l'axe de la galerie sur le plan horizontal aura pour sinus:

α -a

V (a' — a )2 + ( b' − b )2 + ( c' —c)2

(2)

cet angle toujours plus petit que 90° sera positif ou négatif, c'est-à-dire que la galerie ira en montant,ou en descendant de A en B,suivant que a' sera plus grand ou plus petit que a. Dans les deux cas, la valeur numérique de l'expression (2) sera celle du sinus de l'angle cherché.

Enfin, la direction de l'axe de la galerie, c'est-àdire l'angle compris entre le plan vertical passant par cet axe et le plan méridien coordonné, aura pour tangente:

Cet angle pouvant varier de o à 360° sera compris:

Entre o et 90°, lorsque b'—b et c'—c seront tous deux positifs :

Entre 90 et 180, lorsque b'-b sera positif et c-c négatif:

Entre 180 et 270, lorsque b'—b et c'-c seront tous deux négatifs :

Entre 270 et 360, lorsque b'—b sera négatif et c'—c po

sitif.

Si l'on désigne par D l'angle aigu trouvé dans

les tables, qui a pour tangente

b' b

abstraction

faite du signe, l'angle cherché sera égal à :

D, 180°-D, 180°+D, 360° D,

suivant qu'il devra être compris entre :

o et 90°, 90° et 180°, 180° et 270°, 270° et 360°.

Cet angle étant celui de l'axe de la galerie, avec le plan méridien coordonné, il reste encore à déterminer l'angle que celui-ci forme avec le méridien magnétique. Ainsi, le jour où l'on voudra donner la direction de la galerie, on placera la boussole sur le cordeau tendu entre les repères de la ligne fixe, et l'on aura l'angle du méridien magnétique avec cette ligne. On connaît d'ailleurs l'angle du méridien coordonné avec la même ligne. On retranchera ce second angle du premier observé le jour même, et l'on ajoutera la différence qui pourra être positive ou négative avec l'angle trouvé, ainsi que nous l'avons dit. L'angle ainsi corrigé sera celui que l'axe de la galerie forme avec le méridien magnétique, au jour où l'on se trouve, et qui servira à donner sur les lieux la direction que doivent suivre les ouvriers.

Exemple de calcul.

Soient +2m, 11, + 2,55, + 14,12 les coordonnées en hauteur, longitude et latitude du point A ;

+1,38, — 8,72, +7,06 celles du point B ;

¡On aura

(a'—a)2+(b'—b)2+(c'—c)'=d'=177,3894 L.d'=2,2489278

Log. d = 1,1244639

L.(a'—a)—— 1,8633229

Log. sin i=L. (a'—a)+Clog. dc logar. d=8,8755361

C

L.tang.dir.=L.(b'—b)+Cl.(c'—c) { L. (bb) = 1,0519239

C.l.(cc)=9,1511953

Log. tang. direction 10,2031192

La distance d = 13a,32.

=

L'inclinaison i 3° 8'; elle est descendante.
La direction= 180° + 57° 56′ = 237, 56'.

Cet angle est celui de l'axe de la galerie avec le méridien coordonné. Il doit être augmenté ou diminué de l'angle, que le méridien magnétique formera, le jour où l'on tracera la galerie, avec le méridien coordonné, ainsi que cela a été dit précédemment.

Causes

dans l'usage boussole.

de la

VIII. Ce n'est qu'en suivant la méthode, et prenant d'erreurs, les précautions indiquées ci-dessus, que l'on peut atteindre, dans les levés souterrains à la boussole suspendue, un certain degré d'exactitude. Je me suis servi moi-même, avec succès, de cet instrument en plusieurs occasions, pour diriger des percements qui avaient pour but de vider les eaux de certaines excavations peu étendues, telles que des puits verticaux, en les faisant écouler dans des travaux inférieurs. Toutefois on ne peut, selon moi, répondre de l'exactitude d'un levé à la boussole à un mètre près, pour peu que la distance du point de départ au point d'arrivée soit un peu grande, quelles que soient l'adresse de l'opérateur et les précautions qu'il emploie. Cela tient aux causes d'inexactitude inhérentes à la nature même de l'instrument, causes signalées depuis longtemps par un grand nombre d'auteurs, et que nous rappellerons en peu de mots.

1° On n'apprécie qu'à l'estime les arcs inférieurs à un quart de degré ou 15 minutes, attendu que Tome IX, 1836.

le limbe ne saurait être divisé au-delà des quarts de degré, et que l'instrument ne peut recevoir

un vernier.

2° On lit difficilement les angles indiqués par l'aiguille aimantée d'une part, parce que celleci se tient rarement dans le plan juste du limbe, son extrémité nord étant tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de ce plan; d'autre part, parce qu'il faut, pour bien lire, mettre son œil d'aplomb audessus de l'extrémité de l'aiguille aimantée, et le rapprocher beaucoup de l'instrument, à cause de la faible lumière dont on dispose, ce qui devient impossible quand la direction du plan du cordeau s'éloigne peu de celle du méridien magnétique.

3o Les variations diurnes de déclinaison de l'aiguille aimantée peuvent ne pas être négli-geables, puisqu'elles s'élèvent quelquefois à 30 minutes dans un intervalle de 12 heures.

4 L'aiguille peut être déviée du plan du méridien magnétique par des attractions locales, dues à des minerais magnétiques, aux rails d'un chemin de fer placé dans la galerie où l'on marche, ou à d'autres causes.

5° Enfin les inclinaisons ne sont pas mesurées avec précision au moyen du demi-cercle gradué.

N. B. Les variations diurnes atteignent quelquefois 30' dans un intervalle de 12 heures. Ainsi je trouve dans le tableau des expériences d'Adolphe Beyer, déjà citées, que le 4 janvier 1736 la déclinaison de l'aiguille aimantée était de