que l'on a nommé principe de la conservation des forces vives, s'étend à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse, si l'on désigne par force vive d'un corps le double de l'intégrale du produit de sa vitesse la différentielle de la force finie dont il est animé.

par

Dans le mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques, la variation de la force vive est égale à deux fois le produit de la masse du corps par la somme des forces accélératrices multipliées respectivement par les quantités élémentaires dont le corps s'avance vers leurs origines. Dans le mouvement d'un système de corps, le double de la somme de tous ces produits est la variation de la force vive du système. Concevons que, dans le mouvement du système, tous les corps arrivent au même instant dans la position où il serait en équilibre en vertu des forces accélératrices qui le sollicitent; la variation de la force vive y sera nulle, par le principe des vitesses virtuelles; la force vive sera donc alors à son maximum ou à son minimum. Si le système n'était mù que par une seule espèce de ses oscillations simples, les corps, en partant de la situation d'équilibre, tendraient à y revenir si l'équilibre est stable; leurs vitesses diminueraient donc à mesure qu'ils s'en éloigneraient, et par conséquent la force vive serait, dans cette position, un maximum. Mais si l'équilibre n'était point stable, les corps, en s'éloignant de cet état, tendraient à s'en éloigner davantage, et leurs vitesses iraient en croissant; leur force vive serait donc alors un minimum. De là on peut conclure que, si la force vive est constamment un maximum lorsque les corps parviennent au même instant à la position d'équilibre, quelle que soit leur vitesse, l'équilibre est stable, et qu'au contraire, il n'a ni stabilité absolue, ni stabilité relative, si la force vive, dans cette position du système, est constamment un minimum.

Enfin, on a vu, dans le Chapitre II, que la somme des intégrales du produit de chaque force finie du système par l'élément de sa direction, somme qui, dans l'état d'équilibre, est nulle, devient un minimum dans l'état du mouvement. C'est en cela que consiste le principe de la moindre action, principe qui diffère de ceux du mouvement uniforme du centre de gravité, de la conservation des aires et des forces vives,

en ce que ces principes sont de véritables intégrales des équations dif férentielles du mouvement des corps, au lieu que celui de la moindre action n'est qu'une combinaison singulière de ces mêmes équations.

La force finie d'un corps étant le produit de sa masse par sa vitesse, et la vitesse multipliée par l'espace décrit dans un élément du temps étant égale au produit de cet élément par le carré de la vitesse, le principe de la moindre action peut s'énoncer ainsi : l'intégrale de la force vive d'un système, multipliée par l'élément du temps, est un minimum, en sorte que la véritable économie de la nature est celle de la force vive. C'est aussi l'économie que l'on doit se proposer dans la construction des machines, qui sont d'autant plus parfaites qu'elles emploient moins de force vive pour produire un effet donné. Si les corps ne sont sollicités par aucune force accélératrice, la force vive du système est constante; le système parvient donc d'une position à une autre quelconque dans le temps le plus court.

On doit faire une remarque importante sur l'étendue de ces divers. principes. Celui du mouvement uniforme du centre de gravité et le principe de la conservation des aires subsistent dans le cas même où, par l'action mutuelle des corps, il survient des changements brusques dans leurs mouvements, et cela rend ces principes très utiles dans beaucoup de circonstances; mais le principe de la conservation des forces vives et celui de la moindre action exigent que les variations du mouvement du système se fassent par des nuances insensibles.

Si le système éprouve des changements brusques par l'action mutuelle des corps ou par la rencontre d'obstacles, la force vive reçoit, à chacun de ces changements, une diminution égale à la somme des produits de chaque corps par le carré de sa vitesse détruite, en concevant sa vitesse avant le changement décomposée en deux, l'une qui subsiste, l'autre qui est anéantie et dont le carré est évidemment égal à la somme des carrés des variations que le changement fait éprouver à la vitesse décomposée parallèlement à trois axes quelconques perpendiculaires

entre eux.

Tous ces principes subsisteraient encore, eu égard au mouvement

relatif des corps du système, s'il était emporté d'un mouvement général et commun aux foyers des forces, que nous avons supposés fixes. Ils ont pareillement lieu dans le mouvement relatif des corps sur la Terre; car il est impossible, comme nous l'avons déjà observé, de juger du mouvement absolu d'un système de corps par les seules apparences de son mouvement relatif.

Quels que soient le mouvement du système et les variations qu'il éprouve par l'action mutuelle de ses parties, la somme des produits de chaque corps par l'aire que sa projection trace autour du centre commun de gravité, sur un plan qui, passant par ce point, reste toujours parallèle à lui-même, est constante. Le plan sur lequel cette somme est un maximum conserve une situation parallèle pendant le mouvement du système; la même somme est nulle par rapport à tout plan qui, passant par le centre de gravité, est perpendiculaire à celui dont nous venons de parler, et les carrés de trois sommes semblables relatives à trois plans quelconques menés par le centre de gravité et perpendiculaires entre eux sont égaux au carré de la somme, qui est un maximum. Le plan correspondant à cette somme jouit encore de cette propriété remarquable, savoir, que la somme des projections des aires tracées par les corps les uns autour des autres et multipliées respectivement par le produit des masses des deux corps que joint chaque rayon vecteur, est un maximum sur ce plan et sur tous ceux qui lui sont parallèles. On peut donc ainsi retrouver à tous les instants un plan qui, passant par l'un quelconque des points du système, conserve toujours une situation parallèle, et comme, en y rapportant le mouvement des corps, deux des constantes arbitraires de ce mouvement disparaissent, il est aussi naturel de choisir ce plan pour celui des coordonnées que d'en fixer l'origine au centre de gravité du système.

LIVRE IV.

DE LA THÉORIE DE LA PESANTEUR UNIVERSELLE.

Opinionum commenta delet dies, naturæ judicia confirmat.
CIC., De nat. deor.

Après avoir exposé dans les Livres précédents les lois des mouvements célestes et celles de l'action des causes motrices, il reste à les comparer, pour reconnaître les forces qui animent les corps du système solaire et pour s'élever, sans hypothèse et par une suite de raisonnements géométriques, au principe général de la pesanteur dont elles dérivent. C'est dans l'espace céleste que les lois de la Mécanique s'observent avec le plus de précision; tant de circonstances en compliquent les résultats sur la Terre qu'il est difficile de les démêler et plus difficile encore de les assujettir au calcul. Mais les corps du système solaire, séparés par d'immenses distances et soumis à l'action d'une force principale dont il est facile de calculer les effets, ne sont troublés, dans leurs mouvements respectifs, que par des forces assez petites pour que l'on ait pu embrasser dans des formules générales tous les changements que la suite des temps a produits et doit amener dans ce système. Il ne s'agit point ici de causes vagues, impossibles à soumettre à l'Analyse, et que l'imagination modifie à son gré pour expliquer les phénomènes. La loi de la pesanteur universelle a le précieux avantage de pouvoir être réduite au calcul et d'offrir, dans la comparaison de ces résultats aux observations, le plus sûr moyen d'en constater l'existence. On verra que cette grande loi de la nature représente tous les phénomènes célestes jusque dans les plus petits détails; qu'il n'y a pas une seule de leurs inégalités qui n'en découle avec une précision admirable, et qu'elle a souvent devancé les observations, en nous

OEuvres de L. VI.

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