A. H. ANGLIN. Zur Theorie der symmetrischen Functionen.

so wird der Rest der Division +":f(x) durch gewisse symmetrische Functionen der Wurzeln von f(x) = 0 dargestellt. Das Resultat findet sich auch in der erst jetzt veröffentlichten Jacobi’schen erweiterten Dissertation. No.

TH. MUIR. On bipartite functions. Edinb. Trans. XXXII.

461-482.

Das Wesen der bezüglichen Functionen wird durch ein Beispiel erhellen:

acgk+acil+aehk+ aejl+bdgk+bdil+bfhk+bfjl;

nämlich statt der zwei Reihen a, b und k, l, jede von zwei Buchstaben, und der beiden quadratischen Anordnungen, jede von 2' Buchstaben, haben wir im allgemeinen für eine Bipartite von der Grad Ordnung (deg-order) m, n zwei Reihen, jede von n Buchstaben, und m Anordnungen, jede von n' Buchstaben. Die entwickelte Form ist die Summe von nm-1 Termen, jeder von denselben das Product eines Buchstaben aus der Anfangsreihe, eines Buchstaben aus jeder der quadratischen Anordnungen und eines Buchstaben der Endreihe. Noch allgemeiner kann eine Bipartite aus rechteckigen (statt aus quadratischen) Anordnungen gebildet werden. Die Functionen kommen in verschiedenen mathematischen Untersuchungen vor; beispielsweise sind die Elemente der Determinante, die das Product in m Determinanten, jede von der ten Ordnung ist, Bipartiten von der Grad-Ordnung (m, n). Algebraische Formen sind als Bipartiten ausdrück bar,

u. 8. W.

Cly. (Lp.)

TH. MUIR. New relations between bipartite functions and determinants, with a proof of a proof of Cayley's theorem in

matrices. Lond. M. S. Proc. XVI. 276-286.

Die zweigeteilten Functionen" sind homogen und linear in den Elementen gewisser, eigentümlich angeordneter Grössenreihen. Sie können zur Bestimmung der Coefficienten in der Reihenentwickelung eines Determinanten - Quotienten benutzt werden, dessen Zähler eine Säcular- Determinante, dessen Nenner eine Hauptsubdeterminante der ersteren ist. Das führt dann zum Beweise eines Cayley'schen Determinantensatzes.

No.

A. CAYLEY. On the matrical equation qQ-Qq' = 0.

Mess. XIV. 176-178.

In dieser Gleichung sind q, q' gegebene Matrizen, Q eine zu bestimmende Matrize. In einem früheren Aufsatze,,On the quaternion equation qQ-Qq' = 0" (Mess. XIV. 108-112; F. d. M. XVI. 1884. p. 113) hatte der Verfasser bemerkt, dass die Aufgabe für Matrizen mit der für Quaternionen übereinstimmte. Er hält es jetzt jedoch für einfacher, die Matrizengleichung ohne den Gebrauch der Quaternionen zu lösen. Es findet sich, dass eine Lösung der Gleichung nur unter einer gewissen Bedingung existirt. Falls diese Gleichung befriedigt ist, so dienen die gegebenen Formeln zur Bestimmung der Matrize Q. Glr. (Lp.)

E. CESARO. Sur une loi symbolique remarquable.

Math. V. 81-84.

Verschiedene Anwendungen der Formel:

[(u1, 24211 un) = f(N—u1, N—u2, ···, N-un),

2

Un

wo f eine symmetrische Function der n Grössen u1, u,, ..., ist, die nach Voraussetzung die nämlichen sind wie N-u,,

Dritter Abschnitt.

Niedere und höhere Arithmetik.

Capitel 1.

Niedere Arithmetik.

O. STOLZ. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. Nach den neueren Ansichten. Erster Teil. Allgemeines und Arithmetik der reellen Zahlen. Leipzig. Teubner. 344 S.

Wer die auf die strenge Begründung der Grundlagen und der Lehrsätze der Arithmetik und der Analysis gerichteten Untersuchungen des Verfassers kennt, wird sich denken können, dass die beiden Teile der Stolz'schen Vorlesungen über Arithmetik" ein zusammenhängendes, eigenartiges Lehrgebäude bilden, und es daher gerechtfertigt finden, wenn wir über beide Teile zugleich referiren, was im nächsten Bande der F. d. M. geschehen soll.

Scht.

FRIEDRICH MEYER. Elemente der Arithmetik und Algebra. Zweite Auflage. Halle. H. W. Schmidt. 224 Seiten.

Hinsichtlich des methodischen Aufbaus der Arithmetik ist das vorliegende Buch viel strenger als die meisten Arithmetik Bücher. Der Verfasser steht mit dem Referenten auf dem Kronecker'schen Standpunkt, dass die Zahlen, welche nicht Anzahlen (Er

gebnisse des Zählens) sind, Erfindungen sind, zu welchen das Streben, die Determination bei der Auflösung gewisser Gleichungen fortzuräumen, nötigt, dass also solche Kunstproducte, wie negative, gebrochene Zahlen u. s. w. mit Benutzung der zahlenschöpferischen Kraft der Gleichungen von den Menschen geschmiedet sind, um eine Vereinfachung des Rechnens, und damit einen Fortschritt der Wissenschaft, zu erzielen. Der Verfasser behauptet, dass seine Darstellung von den Untersuchungen Georg Cantor's beeinflusst sei. Der Referent findet jedoch, dass das vorliegende Buch vielmehr von dem Geiste der Untersuchungen einerseits Kronecker's, and rerseits Ernst Schröder's durchweht ist. Ausser diesem streng systematischen Aufbau der arithmetischen Gesetze, welcher mit der durch das Princip der Ausnahmslosigkeit bedingten allmählichen Einführung der künstlichen Zahlen eng verbunden ist, enthält das Buch auch eine strenge Theorie der Gleichungen bis zum vierten Grade, die Combinatorik im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Theorie der arithmetischen und geometrischen Reihen, die Lehre von den Kettenbrüchen und diophantischen Gleichungen, und sogar die Grundlagen der Zahlentheorie.

Scht.

R. SCHURIG.

Lehrbuch der Arithmetik zum Gebrauch an niedern und höhern Lehranstalten und beim Selbststudium. Leipzig. Brandstetter. 1883, 1884, 1885.

Ein Arithmetikbuch von nicht weniger als 1144 Seiten, in drei Bänden.

Der Verfasser bestimmt das Buch zum Gebrauch an niedern und höhern Lehranstalten und zum Selbststudium. Als Grundlage des arithmetischen Unterrichts an Lehranstalten ist das Buch natürlich viel zu umfangreich. Wohl aber ist dasselbe zum Selbststudium sehr geeignet, da es über alle möglichen Nebenfragen Aufschluss giebt, eine grosse Auswahl von Beispielen bietet, und also wohl geeignet ist, den Lehrer zu ersetzen. Der erste Titel enthält die specielle Zahlenlehre (ohne

den Gebrauch von Buchstaben für allgemein gedachte Zahlen) und soll zugleich ein Handbuch für Volksschullehrer sein. Der zweite Teil, welcher die allgemeine Zahlenlehre" (BuchstabenRechnung) betitelt ist, enthält die Gesetze der 7 arithmetischen Operationen und deren Anwendung, sowie auch die Grundlagen der Zahlentheorie. Der dritte Teil, welcher Algebra nebst Anwendung derselben auf die Analysis" betitelt ist, enthält ausser allen möglichen Gruppen von Gleichungen, die sich auf solche ersten oder zweiten Grades mit einer oder mehreren Unbekannten zurückführen lassen, auch eine Theorie der Maxima und Minima, ein Capitel über Ungleichungen, sowie die Theorie der Kettenbrüche, der diophantischen Gleichungen und der Progressionen. Scht.

A.SICKENBERGER. Leitfaden der Arithmetik nebst Uebungsbeispielen. Dritte Auflage. München. Ackermann.

Ein Rechenbuch mit vielen Uebungsbeispielen, an dem Referent keine anderen Vorzüge entdecken konnte, als dass Regeldetri durch Dreisatz verdeutscht ist. Von einer BuchstabenRechnung enthält das Buch nichts. Brüche sind dem Verfasser benannte Zahlen. Scht.

Lehrbuch der Elementar

F. HALLER VON HALLERSTEIN.
Mathematik. Erster Teil. Arithmetik. Neunte Auflage.

Neu bearbeitet von C. Strübing und B. Hülsen.

Berlin. Albert Nauck u. Co. VIII u. 306 S. 8°.

Lp.

H. S. HALL and S. R. KNIGHT. Elementary algebra.

London. Macmillan and Co.

Referat in Athenaeum, No. 3018, Aug. 29, 1885, p. 273-274.

Lp.