G. TORELLI. Un problema sulle espressioni differenziali.

Brioschi Ann. (2) XIII. 23-38.

In doppelter Erweiterung des Problems von Pfaff und des einen Schritt weiter geführten Problems von Ricci (1. c. XII. 135, F. d. M. XVI. 1884. 230) wird hier das allgemeinere Problem behandelt: Gegeben ist ein Differentialausdruck vom Grade r:

wo die Indices-Gruppe $1,..., s, eine Disposition mit Wiederholung der Zahlen 1, 2,..., n, die Summe auf alle möglichen Dispositionen ausgedehnt ist, und die Coefficienten a, Functionen der n Variabeln x, bei veränderter Reihenfolge der Indices unverändert bleiben. Es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen gesucht, damit sich der Ausdruck in einen andern vom Typus

transformiren lässt, wo die c Functionen der n- -1 Variabeln u sind und es soll für diesen Fall die Transformation ausgeführt werden. Ferner wird das Pfaff'sche Problem aus anderm Gesichtspunkt erweitert. Man hat die Gruppen von n Unabhängigen

wo die Coefficienten a Functionen der nr Variabeln x (verschieden für verschiedene Reihenfolge der Indices) sind.

Man sucht die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, damit sich mittels distincter Substitutionen der r Gruppen von x in einen Ausdruck

transformiren lässt, wo die c Functionen der (n-1)r Variabeln u,

ihrerseits wie auch u von den nr Variabeln x abhängig sind die Transformation soll unter dieser Voraussetzung ausgeführt werden. Beide Probleme werden nach analogem Verfahren gelöst.

G. TORELLI.

H.

Contribuzione alla teoria delle equazioni algebrico-differenziali. Annali del R. Ist. tecnico e naut. di Napoli. II.

Herr Casorati hat bewiesen (Chelini, Coll. math. p. 307; F. d. M. XIII. 1881. 236), dass, wenn man mit g die Discriminante der Gleichung bezeichnet:

und mit G die Discriminante derjenigen Gleichung, die aus der Elimination von w zwischen (1) und ihrer Ableitung

= 0

i=0

folgt, die Beziehung besteht:

(3) G = gk2,

wok eine ganze rationale algebraische Function der ersten Ableitungen der Functionen f; ist. (Inbetreff des Falles m = 2 vergleiche man eine Arbeit desselben Verfassers in Brioschi Ann. (2) VII, F. d. M. VIII. 1876. 182.

=

Herr Torelli gelangt auf einem anderen Wege zur Gleichung (3); ausserdem, während Herr Casorati sich auf die Aufstellung des Ausdruckes von k für m 2 beschränkt, und zufolge einer Aeusserung des Herrn Brioschi eine Methode zur Auffindung für m = 3 und m = 4 angegeben hat, findet Herr Torelli denselben in der Form einer Determinante von der Ordnung m-1.

La. (Lp.)

E. GOURSAT. Sur les différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes. Ann. de l'Éc. Norm. (3)

II. 255-288; C. R. CI. 309-312.

Der Satz des Herrn Darboux (Darb. Bull. (2) V. 376—384 und 395-424; s. F. d. M. XIII. 1881. 209 und XIV. 1882. 203), dass, wenn für irgend eine Function f beliebig vieler Variablen r; das nte totale Differential drf ein Teiler von d+1f ist, dasselbe auch ein Teiler aller höheren Differentiale ist, wird zunächst dahin ausgedehnt, dass ein gemeinsamer Factor von def und d+1f auch Factor aller höheren Differentiale ist. Dies führt zu der Aufgabe, alle Functionen f zu bestimmen von der Beschaffenheit, dass df und d+1f durch denselben Factor teilbar sind. Ist der gemeinsame Teiler linear in Bezug auf die Differentiale dx, so ist die Lösung durch das System

(1)

2 9

...

(x11 (u) + x ̧❤ ̧ (u) + ··· +¤μÎμ(u)+P(u)
\f = F(x1,x,,..., Xμ),

= 0,

worin u zu eliminiren ist, gegeben; 1,..., μ, bezeichnen beliebige Functionen von u und F ein Polynom (n-1)ten Grades in den x, dessen Coefficienten willkürliche Functionen von u sind. Im Falle, dass der gemeinsame Factor eine pte Potenz einer in den da, linearen Function ist, ergiebt sich

wo die obere Grenze durch die Gleichung (1) bestimmt ist.

Ist endlich der gemeinsame Factor nicht linear in den da; und auch keine Potenz einer linearen Function, dann giebt es zwei Formen für f:

(1) f = Q(x1,x2, ..., Xμ) VR (x,, X2,..., Xμ), woQ ein Polynom vom Grade n- 2 und R eine ganze Function 2ten Grades ist;

woq; eine ganze Function vom Grade n+p—1—q(p—i)—i, R eine ganze Function vom Grade q und u eine lineare Function ist. Wie unmittelbar ersichtlich, kann zu jeder Lösung ein willkürliches Polynom vom Grade n-1 hinzugefügt werden. Der Verfasser giebt auch an, wie in jedem Falle der gemeinsame Factor von d" f und d+1f gefunden werden kann.

H.

H. DE LA GOUPILLIERE. Propriétés nouvelles du paramètre différentiel du second ordre des fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes.

C. R. CI. 18-19.

Der Verfasser untersucht die n-mal wiederholte Operation des Differentialparameters, nach Lamé Augment genannt, an Functionen dreier unabhängigen Variabeln, für den besonderen Fall, wo die behandelten Functionen direct beliebig nur von bestimmten typischen" Functionen abhängig sind, d. h. von solchen, dass die Wiederholung der Operation den Charakter nicht ändert. Diese Eigenschaft besitzen die Systeme von Kugeln und von Rotationscylindern mit parallelen Axen. Die Ausführung wird nicht mitgeteilt, dagegen sind zwei Probleme angegeben, die sich mittels der Theorie der Augmente nter Ordnung leicht lösen lassen, ohne dieselbe schwierig sein würden. (S. das folgende Referat.)

H.

H. DE LA GOUPILLIERE. Propriétés nouvelles du paramètre différentiel du second ordre de plusieurs variables indépendantes. Brux. Soc. sc. Ann. IX. B. 151-186.

22 22 22 Man bezeichne durch & die Operation + + дах дуг Oz2.

Die Berechnung von d1f[p(x, y, z)] wird einfach, sobald o so beschaffen ist, dass df(g) = F(4), wie auch sonst f beschaffen ist. Der Verfasser beweist, dass dies nur eintreten kann, wenn const. die Gleichung concentrischer Kugeln oder coaxialer Umdrehungscylinder ist. Er untersucht darauf, in welchem Falle df [P1, P2, ..., »] ❤n] = F(P1, P2, ..., Pn)

ist. Die gefundenen Resultate wendet er auf die Erforschung von df in verschiedenen Fällen an; darauf verallgemeinert er noch die erhaltenen Formeln, indem er die Operation & durch die Beziehung

definirt annimmt in dem Falle, wo P1, P2, ..., Pp Constanten sind, p gleich 2, 3 oder einer grösseren Zahl ist. (Siehe das vorangehende Referat.) Mn. (Lp.)

A. CAYLEY. On a differential operator. Mess. XIV. 190-191. Verification des Satzes von Herrn MacMahon, dass, wenn

1+bx+cx2+··· = (1—ax)(1—ßx)(1—yx).......,

dann jede nicht unitare" Function der Wurzeln a, 8, y, ... durch die Operation

d+bde + cd +...

auf Null reducirt wird.

Glr. (Lp.)

T. B. SPRAGUE. Note on the evaluation of functions of the form 0o. Edinb. Math. Soc. Proc. III. 70-77.

Gbs.

E. B. ELLIOTT. On conjugate maxima and minima.

Mess. XIV. 182-185.

Man denke sich n unter einander verbundene Grössen A1, A2, ......., An, die fähig sind zu variiren und zwar derartig, dass das Festhalten irgend einer von ihnen den Aenderungen der anderen Beschränkungen auferlegt. Man nehme ferner an, dass, indem man alle mit Ausnahme von einer, z. B. A,, A ̧, ......., An, constant und zwar bezw. gleich a, a,..., a, setzt, man imstande sei, die möglichen Maximal- und Minimal-Werte der noch übrigen Grösse A, zu bestimmen. Es sei a, einer der so bestimmten Werte von 4. Dieser Aufgabe entsprechen n-1 conjugirte Aufgaben erster Ordnung, von denen die eine typische wie folgt aufgestellt werden möge. Es möge A, constant und zwar gleich seinem Werte a, gehalten, alle übrigen, ausgenommen Ar, constant belassen werden und zwar bezw. gleich a2,

ar+1,..., a, wie zuvor. Dann ist im allgemeinen a, ein Maximaloder ein Minimal-Wert der einen veränderlichen Grösse Ar,