Buches). 11. Die Araber. Der Verfasser lässt die Authenticität der Geometrie des Boetius zu, den Uebergang der indischen Ziffern ohne die Null zu den Neupythagoreern, dann zu den abendländischen Arabern; die Null kam danach von den Indern zu den morgenländischen Arabern. 12. Das früheste Mittelalter; Gerbert. 13. Abacisten und Algorithmistiker. Decimalbrüche und Logarithmen. 14. Bibliographische Notizen. Eine Tafel giebt die Ziffern Indiens zu verschiedenen Epochen, die der Araber und des Mittelalters. Mn. (Lp.)

R. KLIMPERT. und Algebra.

Kurzgefasste Geschichte der Arithmetik
Eine Ergänzung zu jedem Lehrbuche

der Arithmetik und Algebra. Hannover. C. Meyer.

Der vom Verfasser angestrebte Zweck kann als im allgemeinen erreicht betrachtet werden. Im einzelnen freilich hat der Umstand so manchen Nachteil mit sich gebracht, dass ganz gleichmässig aus guten und schlechten Quellen geschöpft wurde.

P. TANNERY. Sur l'arithmétique Pythagoricienne.

Darb. Bull. (2) IX. 69-89.

Gr.

Der arithmetische Tractat des Jamblichos ist nach der rein wissenschaftlichen Seite hin durch Nesselmann und Cantor genügend erörtert, wogegen er als Fundgrube geschichtlicher Nachrichten noch weniger gewürdigt ward. Die vorliegende Arbeit dient zur Ausfüllung dieser Lücke. Die sogenannten „Theologumena arithmetices" von unbekanntem Verfasser liefern eine Ergänzung zu dem nicht vollständig auf uns gekommenen Buche des zuerst genannten Neupythagoreers. Gewisse Andeutungen beider Schriften machen es wahrscheinlich, dass die altpythagoreische Schule die theoretische Arithmetik in dem Sinne behandelte, dass zuerst die Zahlen im ganzen studirt, dann aber die charakteristischen Eigenschaften für jede der zehn ersten Zahlen im besondern untersucht wurden. Von den Persönlich

keiten der pythagoreischen Richtung und von den individuellen Leistungen derselben erfahren wir folgendes. Pythagoras definirte den Zahlbegriff, entdeckte die nach ihm benannten rechtwinkligen Dreiecke, die befreundeten Zahlen (284 und 220) und die drei Hauptgattungen der Proportionen; Archytas bildete die Proportionenlehre weiter aus, worin ihm Eudoxos, Myonides und Euphranor nachfolgten; Klinias unterschied scharf die vier mathematischen Fundamentaldisciplinen; Thymaridas bildete und löste das durch die n Gleichungen

...

≈1 + x2+ · + xn−1 +Xn = $; x1+ x; = αi−1 (i = 2, 3,...,n) charakterisirte lineare System („Epanthem"). Dieser Thymaridas darf als einer der wenigen Griechen gelten, die über Arithmetik nicht bloss speculirt, sondern dieselbe auch in ernster und reeller Weise vorwärts gebracht haben.

Gr.

W. SCHOENBORN.

Die von Diophant überlieferten Methoden der Berechnung irrationaler Quadratwurzeln.

Schlömilch Z. HI.-A. XXX. 81-90.

Verfasser glaubt in der zwölften und folgenden Aufgabe des fünften Buchs von Diophant's 'Aqırμŋtıxά den Schlüssel zu der Methode aufgefunden zu haben, deren sich die Alten bei der angenäherten Berechnung quadratischer Irrationalitäten bedienten, und deren Reconstruction so vielfach versucht ist. Diophant zerlegt eine Zahl a je nach den Umständen in eine Summe von 2, 3, 4 Quadraten, deren Differenzen Grössen werden, die <1, und deren Seitenzahlen dem Ausdruck Va annähernd gleich sind. Ein Beispiel wird den Gedankengang des Verfassers am besten klarstellen.

4

+8

1

Um √58+
was allerdings dem griechischen Geiste

+ zu ermitteln, vereinigt der Verfasser,
16

und findet
findet √935. Aus der Relation

nicht völlig entspricht,

935x+1 = (31x-1)2

und nicht minder das, was von der Lösung der Pell'schen Gleichung gesagt wird, alle Beachtung.

Gr.

S. A. CHRISTENSEN. Indförelsen af Regning med Decimalbröker i Danmark. Zeuthen T. (5) IV. 149-152.

Der Verfasser macht die Thatsache bekannt, dass die Anwendung der Decimalbrüche, welche zum ersten Mal von Stevin in seiner Schrift La Disme 1585 entwickelt war, schon im Jahre 1602 dem dänischen Publikum bekannt gemacht würde, indem ein in diesem Jahre erschienenes Rechenbuch von Christoffer Dybvad, betitelt „Decarithmia, ded er Thinde Regnskab“ in dänischer Sprache geschrieben, eine ausführliche Darstellung der Lehre von den Decimalbrüchen enthielt.

Gm.

O. BAUMGART. Ueber das quadratische Reciprocitätsgesetz. Eine vergleichende Darstellung der Beweise des Fundamentaltheoremes in der Theorie der quadratischen Reste und der denselben zu Grunde liegenden Principien. Schlömilch Z. Hl.-A. XXX. 169-236, 241-277.

Eine umfassende historische und kritische Zusammenstellung aller bezüglichen Arbeiten bis zum Jahre 1883. Es wird zunächst das vorhandene Material übersichtlich geordnet und (zur Bequemlichkeit des Lesers in möglichst einheitlicher Bezeichnung) vollständig dargestellt; sodann folgt die Charakteristik der einzelnen Beweise und die genauere Vergleichung der dabei in Frage kommenden Principien.

Der erste Teil gibt die „Darstellung der Beweise für das quadratische Reciprocitätsgesetz“. - I. Capitel. Vorarbeiten von Fermat bis Legendre. Bachet de Meziriac, Fermat (1658), Frenicle (1641) als Vorläufer. Erste Formulirungen des Gesetzes

durch Euler (1783) und Legendre (1785). meinerung des Legendre'schen Symbols.

Jacobi's Verallge

II. Capitel. Gauss'

Beweis durch vollständige Induction in der von Dirichlet gegebenen Form dargestellt. III. Capitel. Beweise durch Reduction: 1. Gauss' dritter Beweis. 2. Gauss' fünfter Beweis. 3. Eisenstein's geometrischer Beweis (Crelle 28). 4. Beweis von Genocchi (Mém. des sav. étr. XXV, 1852). 5. Beweis von Stern (Gött. Nach. 1870). 6. Beweis von Zeller (Berl. Ber. 1872). 7. Beweis von Kronecker (Berl. Ber. 1876). 8. Beweis von Buniakoffsky (Bull. de St. Petersb. Bd. 22, 1876). 9. Beweis von Schering (Gött. Nachr. 1879, C. R. Bd. 88). 10. Beweis von Petersen (Am. J. Bd. 2, 1879, Zeuthen T. 1879). 11. Beweis von Voigt (Schlömilch Bd. 26, 1881). 12. Beweis von Busche (Göttinger Dissertation 1883). IV. Capitel. Eisenstein's Beweis durch functionentheoretische Sätze (Crelle 29, 1845). V. Capitel. Beweise durch Sätze aus der Lehre von der Kreisteilung: 1. Beweis von Gauss und Lebesgue (C. R. 51). 2. Gauss' vierter Beweis. 3. Gauss' sechster Beweis. 4. Beweis von Cauchy-Jacobi-Eisenstein (Bull. de Férussac 12, 1829; Mém. de l'Inst. 18, 451; Crelle 28, 1844). 5. Zweiter Beweis von Eisenstein (Crelle 27, 1844). 6. Beweis von Liouville (C. R. 24, 1847). 7. Erster Beweis von Lebesgue (Liouville J. 12, 1847). - VI. Capitel. Beweise durch Sätze aus der Theorie der quadratischen Formen: 1. Gauss' zweiter Beweis. 2. Kummer's erster Beweis, und: 3. Kummer's zweiter Beweis (beide in den Abh. d. Berl. Akad. 1861). VII. Capitel. Die Ergänzungssätze des quadratischen Reciprocitätsgesetzes und das verallgemeinerte Reciprocitätsgesetz. Auch für die Ergänzungssätze

p

p2-1

(1) (−71)=(−1)= und (11) (2)=(−1)"

werden alle obigen Beweisformen vorgeführt. 1. Beweis für Formel (I) durch verwandte Reste" (Euler), für Formel (II) durch vollständige Induction (Gauss). 2. Beweis der Ergänzungssätze durch Reduction (Petersen). 3. Mit Hülfe der Theorie der quadratischen Formen (Gauss). In betreff des verallgemeinerten Reciprocitätsgesetzes werden Arbeiten von Schering, Kronecker

und Genocchi erwähnt, welche eine Verallgemeinerung des Gauss'schen μ Lemmas geben, bezw. verwerten. VIII. Capitel. Algorithmen zur Bestimmung des quadratischen Rest- oder Nichtrestcharakters einer Zahl in Bezug auf eine andere: 1. Methode von Gauss; 2. Algorithmen von Eisenstein (Crelle 27, 1844), Lebesgue (Liouv. J. 12, 1847); 3. Die Algorithmen von Gegenbauer (Wiener Ber. 1880); 4. ein Algorithmus von Kronecker (Berl. Ber. 1884).

Der zweite Teil enthält sodann eine genaue Analyse der obigen Beweisen zu Grunde liegenden Principien in fünf Capiteln, welche den Capiteln II bis V des ersten Teils entsprechen, und deren Grundgedanken also durch die oben angeführten Ueberschriften im allgemeinen bezeichnet sind. Die Bedeutung des Beweises durch vollständige Induction, „der nirgend das Gebiet der Congruenzen zweiten Grades verlässt", wird gebührend hervorgehoben. Die zwölf „Beweise durch Reduction" werden in ihren Berührungspunkten und ihren Unterschieden genau geprüft. Die analytischen Voraussetzungen und Grundlagen für Eisenstein's Beweis durch functionentheoretische Sätze, wie auch der Beweise mit Hülfe von Sätzen aus der Theorie der Kreisteilung finden sich in möglichster Vollständigkeit angeführt, besonders die Geschichte der „Summe von Gauss" in ihrer Einzelwendung verfolgt.

Die Schlussbemerkungen geben ein chronologisches Verzeichnis der 25 Beweise und im Anschluss daran Erörterungen über die Art des Eingreifens der einzelnen Forscher in die Entwicklungsgeschichte dieser Theorien. Sn.

E. NARDUCCI. Trattatello sulle divisioni, secondo il sistema dell' abbaco, scritto in Italia innanzi al secolo XII. Rom. Acc. L. Rend. (4) I. 563-566.

Zu den in Summa noch nicht sehr zahlreichen mittelalterlichen Lehrbüchern des Abacusrechnens, deren Kenntnis man Chasles, Friedlein, Olleris, Treutlein, Narducci und Don Balth. Boncompagni verdankt, tritt diese neue Anleitung zum Dividiren