F. GOMES-TEIXEIRA. Sur l'intégrale ex f(x) dx.

Rom. Acc. L. Rend. (4) I. 278-280.

Der Nenner der rationalen Function f(x) lässt sich in der Form Ma N3 Pr... darstellen, wo a, p, r,... ungleich sind. Lässt man nun die Wurzeln von M = 0, N = 0, etc. unbestimmt, so ist durch a, ẞ, y,... die Form der Zerlegung von f(x) in Partialbrüche bekannt. Das Integral eines jeden mit ex multiplicirten Bruchs besteht aus rationalen Termen und einem Integrallogarithmus. Der Zähler jedes Terms, dessen Nenner Potenz eines linearen Factors von M ist, ist symmetrische Function der Wurzeln von N, desgl. von P, etc. Addirt man die Terme gleicher Form, deren Nenner gleich hohe Potenzen aller linearen Factoren von M sind, so ist die Summe symmetrische Function einzeln von den Wurzeln von M, N, P,... und lässt sich durch die Coefficienten dieser Factoren darstellen. Hiernach ist es möglich, den rationalen Teil des oben angezeigten Integrals zu finden, ohne die linearen Factoren des Nenners von f(x) zu kennen. H.

OBRASTZOFF. Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite. Darb. Bull. (2) IX. 132-135.

wo P, Q ganze rationale Functionen von sind, und ist

dann bestehen die folgenden beiden Sätze: I. Das Integral

lässt sich immer in expliciter, endlicher Form darstellen. II. Ferner ist

Für diese beiden in Hermite's Cours d'Analyse von 1873 (cf. F. d. M. 1873. V. 148 ff.) p. 359 befindlichen Sätze, welche auch Herr Winckler (Wien. Ber. LXX. cf. F. d. M. 1874. VI. 176 ff.) bewiesen hat, giebt Herr Obrastzoff ganz elementare, aus den Eigenschaften der Kettenbrüche selbst geschöpfte Beweise. Herr Hermite teilt im Anschluss hieran mit, dass er selbst durch die Bemerkung (cf. Borch. J. LXXVI. 303; F. d. M. 1873. V. 252f.), dass die Ausdrücke Pcosx-Qsinx, Psinx+Qcose die Lösungen der Bessel'schen Gleichung

sind, auf die obigen Sätze geführt worden ist.

Die Function

welche durch die Substitution y = zx" aus jener hervorgeht. Hieraus ergiebt sich für die Functionen u = q(ax), v = q(bx) sofort die Relation (8) uv"-vu" = (a3—b3)uv, deren Integration unmittelbar auf den Satz I führt. Nimmt man dann a = b = 1, folglich u = q(x) und für die zweite Lösung der Gleichung (a), so erhält man aus (8):

dass C 1 ist, wird dann hinterher durch Reihenentwickelung gezeigt. T.

A. MONY. Quelques formules générales relatives aux intégrales définies et indéfinies. Nouv. Ann. (3) IV. 176-183.

Entwickelt man das vollständige Differential einer Function mehrerer Variabeln, macht dann letztere zu Functionen einer Variabeln und integrirt die Gleichung, so erhält man eine Relation zwischen mehreren Integralen. Hiervon werden einige Anwendungen gemacht. Z. B. zeigt sich, dass das Integral einer Function einer Variabeln immer durch das Integral ihrer Inversen ausgedrückt werden kann. Ferner ergiebt sich, durch eine Erweiterung der teilweisen Integration, zuletzt folgende Methode, nach der man versuchen kann (x)de zu integriren. Man setzt für die Buchstaben u, v, w,... so, dass das gegebene Differential das partielle Differential einer bekannten Function nach u wird, während die übrigen Teile des vollständigen Differentials Aussicht auf Integrabilität bieten.

H.

A. HARNACK. Beiträge zur Theorie des Cauchy'schen Integrales. Leipz. Ber. 379-398.

Die Untersuchung betrifft das Integral

Es werden zuerst die Relationen zwischen U und V gesucht.

Hier bedeutet do das Element der Randcurve, (do) den Winkel, unter dem es vom Punkte geia aus gesehen wird, P und Q die den U und V zugeordneten Functionen derart, dass

wird, den absoluten Abstand zwischen do und geia. Ist nun für den Rand eines ebenen Gebildes eine stetige Function U gegeben, und erfüllt eine Function die genannten Bedingungen, so stellt die Gleichung

eine Function dar, welche im Innern des Gebietes die Bedingung

erfüllt und an dem Rande den Wert U besitzt.

H.

L. KönigsbergER. Ueber Integrale transcendenter Functionen. Kronecker J. XCVIII. 97-126.

Nach einem bekannten Satze von Abel lässt sich das In

tegral Syda, worin y eine algebraische Function von a bezeichnet,

falls es algebraisch ist, in der Form rat. f(x, y) darstellen. Dieser Satz wird zunächst in folgender Weise erweitert: Sei y, ein Integral einer beliebigen algebraischen Differentialgleichung mter

Ordnung, und das Integral ff(x,y,, ',..., y(")) de, worin ƒ eine

algebraische Function der hingeschriebenen Argumente ist, sei algebraisch durch y, und deren Ableitungen darstellbar, so lässt sich dasselbe in der Form rationale Function (x, y1, y'1, ..., y(m), f) ausdrücken, und zwar gilt die Relation für jeden Zweig von f. Ist die Differentialgleichung in y in Bezug auf () algebraisch irreductibel und genügt y, nicht einer gleichartigen Differentialgleichung niederer Ordnung, so bleibt die Relation auch für jedes Integral der Differentialgleichung erhalten. Insofern obiges

Integral fdæ als Lösung der Gleichung

dz

dx

=

f angesehen

werden kann, wird das Resultat auf beliebige lineare nicht homogene Differentialgleichungen in folgender Form übertragen: Es sei die Differentialgleichung

୧

gegeben, worin f.,..., fμ, f algebraische Functionen und Y1, Y2, ..., Y. Integrale algebraischer Differentialgleichungen von der mten, mton,..., mten Ordnung bedeuten; die Gleichung (1) besitze ferner eine Lösung, die in x, Y.,..., Ye und deren Ableitungen algebraisch sei: so existirt auch eine in diesen Elementen und den Coefficienten f1,..., fu, f rationale Lösung, und zwar muss die erstere Lösung selbst in diesen Grössen rational sein, falls die reducirte Gleichung von (1) kein algebraisches Integral dieser Art oder nur in den Coefficienten rational ausdrückbare Integrale besitzt. Mit Hülfe dieser Sätze geht der Verfasser an die Aufgabe, die Beschaffenheit aller der Transcendenten anzugeben, deren Integral sich als eine algebraische Function der unabhängigen Variabeln und eben dieser Transcendenten darstellen lässt. Es ergiebt sich fürs erste, dass eine solche Transcendente das Integral einer algebraischen Differentialgleichung erster Ordnung sein muss. Soll dieselbe zugleich einer linearen Differentialgleichung mter Ordnung genügen, so muss das allgemeine Integral der ersteren Differentialgleichung eine homogene lineare Function von m+1 particulären Integralen derselben sein, deren Coefficienten Functionen einer willkürlichen Constanten sind. Diese Eigenschaft hat jedoch, wie der Verfasser früher nachgewiesen, eine Differentialgleichung erster Ordnung nur dann, wenn dieselbe eine lineare oder eine durch eine algebraische Substitution aus einer linearen abgeleitete ist. Von den Coefficienten der Substitution sind noch gewisse Bedingungen zu erfüllen, die des näheren angegeben werden.

Hr.