= = 1, Winkel zwischen beiden = a ist. Die Grenzen des Integrals umfassen einen rechten Winkel, der in Intervallen von a positiv, in andern negativ ist. H. J. GRIFFITHS. On a definite integral. Mess. XIV. 190. N. A. OUMOFF. Die geometrische Bedeutung der Fresnel'schen Integrale. Odessa Ges. VI. 57-86. (Russisch.) 2 Es sei eine Parabel, deren Gleichung 22 = v ist, auf Π einen Kreiscylinder aufgewickelt, so dass die Axe der Parabel mit der Basis des Cylinders zusammenfällt. Dann wird die Parabel auf dem Cylinder eine Schraubenlinie darstellen. Die Projectionen dieser Curve auf die Ebenen ze und zy (die Axe des Cylinders sei die z-Axe, ferner gehe die x-Axe durch den Scheitel der Parabel) sind zwei ebene Curven, deren Flächen den Fresnel'schen Integralen eine geometrische Bedeutung geben. Aus dieser geometrischen Darstellung fliessen die Annäherungsformeln für die Berechnung der Integrale, welche von dem Verfasser hiernach auf die Theorie der Diffraction angewandt werden.. Wi. On certain definite integrals. W. H. L. RUSSell. Zwei Notizen, von denen die erste Formeln zur Lösung gewisser partieller Differentialgleichungen enthält, die zweite den einer Curve. Acta Math. VI. 167-168. Der Verfasser erwidert auf einen Einwand von Scheeffer, der behauptet, dass sein Begriff der Curvenlänge zu eng sei: einen geometrischen Begriff gebe es nur, wo eine Tangente existirt. Der analytischen Erweiterung fehle noch der Nachweis, dass nicht 2 Längen einer Curve möglich seien. H. L. KRONECKER. Ueber den Cauchy'schen Satz. Berl. Ber. 785-787. Die vorliegende Note enthält den Beweis des folgenden Cauchy'schen Satzes (von welchem der Verfasser einen anderen Beweis in den Berl. Ber. vom 29. Juli 1880 gegeben hat): „Wenn von einer Function f(x, y) vorausgesetzt wird, dass ihre ersten und zweiten Ableitungen in einem von einer geschlossenen Curve umgrenzten Gebiete durchweg endlich und eindeutig sind, so lässt sich erschliessen, dass das über diese Curve erstreckte Integral fdf(x,y) gleich Null, und dass also die Function f(x, y) in dem bezeichneten Gebiete eindeutig ist." Aus den Voraussetzungen folgt zunächst, dass bei der Integration die Begrenzungscurve durch ein derselben eingeschriebenes geradliniges Polygon ersetzt werden darf, welches sich der Curve hinreichend nahe anschliesst. Dieses Polygon lässt sich in rechtwinklige Dreiecke zerlegen, deren Katheten den Coordinatenaxen parallel laufen, und es genügt, den Satz für die Begrenzung eines solchen Dreiecks zu beweisen. Führt man aber in dem über die Fläche des Dreiecks ausgedehnten Integrale die Integration einmal nach x, ein anderes Mal nach y aus, so ergiebt der Vergleich der beiden Resultate direct den zu beweisenden Satz. Es wird noch bemerkt, dass man das ursprüngliche Gebiet anstatt durch ein System von rechtwinkligen Dreiecken auch durch ein System von Rechtecken, deren Seiten den Coordinatenaxen parallel laufen, hätte ersetzen können. Auf pag. 786 dritte Zeile von unten ist in der oberen Grenze des letzten Integrals t0 in t = 1 zu verbessern. Hz. DAVID. Sur une formule de Cauchy. Toul. Mém. (8) VII. 193-215. Die von Cauchy bewiesene Fundamentalformel der Theorie der imaginären Functionen ist, wie der Verfasser sagt, teils mehr teils weniger allgemein als diejenige, welche man gegenwärtig unter dem Namen Cauchy'scher Satz an ihre Stelle setzt. Was dem letztern an Allgemeinheit fehlt, soll ihm durch die gegenwärtige Herleitung gegeben werden, welche von einer Voraussetzung, dass die imaginären Functionen monogen seien, keine Anwendung macht. Nachdem dies geschehen, folgen einige speciellere Betrachtungen. H. MAC COLL. On the limits of multiple integrals. Lond. M. S. Proc. XVI. 142-146. H. Die gegenwärtige Arbeit schliesst sich an den Artikel Calculus of equivalent statements" 1. c. IX. 9. an, auf welchen noch zwei Artikel IX. 177 und X. 16 gefolgt sind, und zwar in betreff der Bestimmung der Grenzen mehrfacher Integrale durch die hinreichenden Data, und hat den Zweck zu zeigen, wie der so gewonnene Ausdruck der Grenze oft vereinfacht und anf sing der Integration günstige Form gebracht werden kann. Das Wesen dieses Calculus" ist in F. d. M. X. 34, XI. 49 erklärt. " H. W. H. L. RUSSELL. On certain definite integrals. Lond. R. S. Proc. XXXVII. 62-65. Fortsetzung früherer Untersuchungen. Bezieht sich teils auf eine Klasse vielfacher Integrale, teils auf die Lösung einer gewissen partiellen Differentialgleichung durch vielfache Integrale. Cly. (Lp.) L. KRONECKER. Ueber das Dirichlet'sche Integral. Berl. Ber. 641-656. In der Theorie der Fourier'schen Reihen ist es bekanntlich von Wichtigkeit zu untersuchen, unter welchen Umständen die Gleichung gültig ist. Dabei bedeutet f(x) eine eindeutige, reelle, integrirbare Function der reellen Veränderlichen ; ferner wird vorausgesetzt, dass f(x) in dem Intervall (0, X) absolut genommen eine bestimmte Grösse M nicht überschreitet und dass ' dem Intervalle (0, X) angehört. Es wird zunächst gezeigt, dass man ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit f(0) = 0 annehmen kann, und dass die Grenzen x' 0, ersetzt werden dürfen durch § bez. +', wound §' σ σ irgend welche positiven Grössen bezeichnen. Wird noch f(x): = xq(x) gesetzt, so handelt es sich also um folgende Frage: Wann ist vorausgesetzt, dass xq(x) für 0 verschwindet?" Wählt man nun gleich einer ungeraden Zahl 2m+1 und 'so, dass x' σ x' σ + gleich der nächsten über liegenden gera den Zahl wird, so lässt sich das zu untersuchende Integral in der Form h ƒ**'oq(ox) sinx7dx = ['cx(−1)^4(0x+oh) sin.xx dx h schreiben, wo der Summationsbuchstabe h alle durch die Bedingung bestimmten ganzen Zahlen zu durchlaufen hat. Das Zeichen [a] bedeutet hier und in der Folge die der Grösse a nächste kleinere ganze Zahl. Es wird nun gezeigt, dass an Stelle von ' irgend eine andere zwischen 0 und X liegende Grösse und an Stelle der Summe (-1)(ox+oh) auch die andere (-1)'q(ox+oh) gesetzt werden darf, wo der Strich über dem Summenzeichen andeuten soll, dass das erste und letzte Glied der Summe mit dem Factor zu versehen ist. Nach diesen Abänderungen darf man noch die ganze Zahl m unendlich anwachsen und den Wert x, unendlich abnehmen lassen, so dass man auf die Bedingung: 0 lim lim lim 'ox(−1)'4 (œx+oh)deos xx = 0, h (2m+1 ≤h ≤2 [%]+1) geführt wird. Diese Bedingung ist nun sicher erfüllt, wenn die Gleichung besteht: Hülfe von wenigen Schlüssen folgender Satz: (K) Um erschliessen zu können, dass für beliebige Werte von x', die kleiner als X sind, Fortschr. d. Math. XVII. 1. 18 |