als eine erwünschte Gabe hinzu. Der Autor ist ein Italiener aus Olibanum; welcher der drei mit diesem Namen belegten Oerter in Frage kommt, ist freilich nicht zu bestimmen. Die Zahlzeichen, deren sich der Autor bedient, weichen von den sonst bekannten Formen mehrfach ab. Gr.

G. ENESTRÖM. Sur l'origine du symbole x employé comme signe d'une quantité inconnue. Bibl. Math. 41-44.

Es wird gezeigt, dass x nicht, wie Herr P. de Lagarde behauptet hat, den Anfangsbuchstaben des arabischen Wortes šai (Sache) wiedergiebt, da erst Descartes (1637) die Buchstaben x, y, z angewandt hat, um unbekannte Grössen zu bezeichnen.

E.

H. B. NIXON and J. C. FIELDS. Bibliography of linear differential equations. Newcomb Am. J. VII. 353-363.

H. G. ZEUTHEN. Kegelsnitslären i Oldtiden. Kjöbenhavn.

Höst & Son.

H. G. ZEUTHEN. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Deutsche Ausgabe unter Mitwirkung des Verfassers besorgt von R. von Fischer-Benzon. Kopenhagen. Höst und Sohn. 1886. XIV und 511 S. 8°.

Der competenteste Gelehrte auf dem Gebiete der Geschichte der griechischen Mathematik, Herr P. Tannery, dessen bedeutende Beiträge zum Verständnisse der griechischen Mathematik Herrn Zeuthen, wie er in der Vorrede sagt, oft zur Führung gedient haben, urteilt in seiner Anzeige dieses Buches (Darboux Bull. (2) X. 263), bis jetzt sei die Geschichte der Kegelschnitte im Altertume unverstanden gewesen, und Herr Zeuthen liefere uns nicht nur den Schlüssel dazu, sondern führe uns so, dass wir nicht mehr in die Irre gehen können; noch lange werde es

unmöglich sein von den Kegelschnitten im Altertum zu sprechen, ohne auf dies Meisterwerk zurückzukommen.

Als Zweck der Schrift bezeichnet der Verfasser, eine geometrische Wiederherstellung des Inhaltes und des Zusammenhanges der antiken Lehre von den Kegelschnitten zu geben und zu begründen".

„Der Darstellungsform der Alten fehlten die Eigenschaften, welche dieselbe zu einem bequemen Mittel hätte machen können, den reichen Inhalt der griechischen Geometrie, geschweige denn die Arbeitsweise derselben, auf spätere Geschlechter zu übertragen. Trotz des Eifers, mit dem die Mathematiker der Renaissancezeit sich auf das Studium der Mathematik geworfen hatten, konnten sich dennoch während der ganzen neueren Zeit neue Einflüsse von Seiten der griechischen Geometrie noch geltend machen. In unserer Zeit fahren dieselben Ursachen fort ihre Wirkung auszuüben, und selbst der, welcher sich einige Bekanntschaft mit den Schriften der Alten erworben hat, wird kaum geneigt sein, die in diesen gewonnenen Resultate genügend hoch zu würdigen. ... Die Geometrie bei den Alten wurde nicht bloss ihrer selbst wegen entwickelt, sondern diente als Organ für die Grössenlehre."

...

Im ersten Abschnitte beschäftigt sich der Verfasser mit den Voraussetzungen und Hülfsmitteln, den Proportionen und der geometrischen Algebra. „Die Hülfsmittel sind, wenn auch der Begriff Coordinatensystem nicht aufgestellt wird, dieselben, welche wir benutzen, nämlich rechtwinklige und schiefwinklige Coordinaten, welche die Griechen überdies mit grösserer Freiheit anzuwenden verstanden, als es im 17. und 18. Jahrhundert der Fall war." Die geometrische Algebra, die in der antiken Lehre von den Proportionen ihr Fundament besass, „hatte zu Euklid's Zeiten eine solche Entwickelung erreicht, dass sie dieselben Aufgaben bewältigen konnte wie unsere Algebra, solange diese nicht über die Behandlung von Ausdrücken zweiten Grades hinausgeht, ein Gebiet, welches sie auch in ihrer Anwendung auf die Lehre von den Kegelschnitten ausgefüllt hat. Eine solche Anwendung entspricht der Anwendung unserer Algebra in der analy

tischen Geometrie. . . . Insofern man jedoch im Altertum keine negativen Grössen kannte, musste man das, was wir in einer gemeinsamen algebraischen Entwickelung vereinigen können, in verschiedene Sätze mit den zugehörigen Beweisen zerlegen." Da es nicht möglich ist, den reichen Inhalt des Buches hier zu zergliedern, so muss eine allgemeine Uebersicht genügen. Es zerfällt in 22 Abschnitte und einen Anhang I.: Apollonius' Vorrede zur Schrift über die Kegelschnitte, II.: Pappus' Mitteilungen über Apollonius' 8 Bücher über die Kegelschnitte, im Urtexte und in Uebersetzung. Die Behandlung schliesst sich vorzugsweise an die sieben erhaltenen Bücher des Apollonius über den Gegenstand an, benutzt ferner die Abschnitte aus Euklid's Elementen, welche besondere Anwendung finden, ferner die Schriften von Archimedes und die anderen Arbeiten des Apollonius. Endlich aber wird alles, was durch die ausschliessliche Rücksichtnahme der Alten auf logische Vollständigkeit verdeckt wird, hervorgesucht und durch Benutzung moderner Darstellungsmittel ans Licht gebracht. Zur Lösung dieser schwierigen Aufgabe hat sich Herr Zeuthen durch ein langjähriges Studium so vorbereitet, dass er sich in die Darstellungsform der antiken Geometer völlig eingelebt hat, dass er deshalb Proben von ihrer Anwendung auf die Lösung geometrischer Aufgaben liefert. Indem er nun den Nachweis führt, dass das Lehrbuch des Apollonius durchaus nicht den gesamten Inhalt seines Wissens über die Kegelschnitte giebt, sondern eben nur ein kunstvolles Lehrgebäude zur Einführung in die Kenntnisse dieser Curven darstellt, ähnlich wie Euklid's Elemente ein Lehrbuch zur Einführung in die Elementar-Geometrie sind, wird es notwendig, an der Hand der oben angegebenen Quellen Vermutungen darüber aufzustellen, wie weit das Wissen der Alten auf diesem Gebiete überhaupt gereicht habe. Die vorsichtige und scharfsinnige Entwickelung der hierzu erforderlichen Schlussreihen machen das Studium des Werkes zu einem höchst genussreichen, und selbst wenn Einzelheiten durch Specialuntersuchungen berichtigt werden sollten, wird das Buch als umfassende Darstellung der hochentwickelten griechischen Lehre von den Kegelschnitten und als geistvoll und ansprechend

geschriebenes Werk, in welchem nach Herrn Tannery eine antike Methode wieder aufgefunden ist, noch auf lange hin wertvoll sein.

Lp.

P. TANNERY. Les applications de la géométrie dans l'antiquité. Darb. Bull. (2) IX. 311-324.

Es werden hier gewisse Anwendungen der Geometrie auf Astronomie und Mechanik namhaft gemacht, welche den griechischen Mathematikern geläufig waren. Zur Sprache kommen erstlich Heron's Methode, geodätische Messungen mit Hülfe des als „Diopter" bezeichneten Universalinstruments anzustellen, sodann die ,Meteoroskope" des Geminos und Ptolemäus, mittelst deren Sternhöhen auch ausserhalb des Meridians zu nehmen waren, ferner die verschiedenen Sonnenuhren der Alten, die Optik und deren Verwendung für scenographische (Kulissen - ) Darstellung. Die Mechanik machte von geometrischen Hülfssätzen vielfach Gebrauch bei der Anfertigung von Kriegsmaschinen und Automaten; in der theoretischen Mechanik war freilich nur Archimedes glücklich, Pappos scheiterte vollständig bei dem Versuche, das statische Grundgesetz der schiefen Ebene zu begründen, und es ist als eine starke Uebertreibung zu rügen, dass man in antiken Werken eine Vorahnung des Princips der virtuellen Geschwindigkeiten hat finden wollen.

Gr.

S. A. CHRISTENSEN. Et Bevis hos Archimedes. Zeuthen T. (5) IV. 47-50.

Darstellung der Archimedischen Exhaustionsmethode in ihrer Anwendung auf die Kubatur der Rotationskörper. Gm.

H. G. ZEUTHEN. Nogle Bestemmelser af Pyramidens Volumen. Zeuthen T. (5) IV. 175-179.

Zusammenstellung der von Euklid und von Archimedes benutzten Methoden, um das Volumen einer Pyramide zu bestimmen, nebst den modernen Darstellungen der nämlichen Aufgabe.

Gm.

S. GÜNTHER.

Die Erfindung des Baculus Geometricus".

Bibl. Math. 137-140.

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Man hat bisher geglaubt, dass der „Baculus Geometricus" von Regiomontanus erfunden worden ist. Herr Günther zeigt. hier, dass dies Instrument schon in einem um das Jahr 1450 verfassten Aufsatze De baculo geometrico beschrieben ist und also jedenfalls vor Regiomontanus bekannt war.

E.

H. HANKEL. Esquisse historique sur la marche du développement de la nouvelle géométrie. Traduit de l'allemand par Ed. Dewulf. Paris. Gauthier-Villars.

M. ZWERGER. Die lebendige Kraft und ihr Mass. Ein Beitrag zur Geschichte der Physik. München. Lindauer'sche Buchhandlung. (Schöpping.) IV u. 291 S. 8o.

Der Streit zwischen den Anhängern von Leibniz und denen von Descartes über das Mass der lebendigen Kraft (1686-1754) wird in dem vorliegenden Buche quellengemäss dargestellt. Die einzelnen Schriften werden in chronologischer Folge vorgeführt, nicht bloss weil diese Behandlung dem Verfasser als die natürlichere erscheint und Wiederholungen, welche bei der getrennten Darstellung der beiden Richtungen notwendig eintreten müssten, vermeiden lässt, sondern insbesondere weil sie ein lebendigeres Bild des Kampfes bietet. Hauptsächlich bilden daher längere Auszüge solcher Art aus den sich folgenden Streitschriften, welche am besten die Ansichten der einzelnen Gelehrten kennzeichnen, den Inhalt des Buches, das somit dem Leser die Mühe des Aufsuchens und Nachschlagens abnimmt. Kritische Bemerkungen fügt der Verfasser nur da hinzu, wo ihm dies nötig und zulässig erschien. Zuweilen war dies überflüssig, nämlich dann, wenn die Arbeit des einen Autors selbst eine Kritik des anderen enthielt. An den Schluss des Werks sind die den Streit beendigenden Arbeiten von d'Alembert (1743) und Kant (1747) gestellt,

Fortschr. d. Math. XVII. 1.

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