B. Elliptische Function en.

H. A. SCHWARZ.

Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Professor K. Weierstrass.

Göttingen. Dieterich. Bogen 11 u. 12, S. 81-96.

Fortsetzung der Sammlung, über welche F. d. M. XV. 1883. 373 berichtet worden ist. Die vorliegenden Bogen enthalten die Fortsetzung des Artikels: Das Quadrat des Moduls und die absolute Invariante als Function des Periodenverhältnisses", ferner die Normalform der elliptischen Integrale erster, zweiter, dritter Art":

Es folgen die Additionstheoreme der elliptischen Integrale und die Bestimmung der Perioden der aus elliptischen Functionen entspringenden Integralfunctionen.

M.

K. WEIERSTRASS. Sur la théorie des fonctions elliptiques.

Acta Math. VI. 169-228.

Eine von Herrn A. Pautonnier gegebene Uebersetzung der Abhandlung Berl. Ber. 1883 (Math. u. naturw. Mitteilungen p. 95-105, 163-173, 621-647), über welche F. d. M. XV. 1883. 394 berichtet worden ist.

A. SÖDERBLOM.

Sur les fonctions elliptiques (u

Upsala, Vet. Soc. Acta XIII. (1884). (4) +123+(1) S.

Enthält S. 1-6 eine Einleitung, wo mit Benutzung der Sch schen Formelsammlung einige Relationen zwischen den elliptis

Functionen gegeben werden und dann S. 7-16 Integrationsformeln für die einfachsten Integrale von der Form

ƒ F(p(u)) du.

Das Uebrige der umfangreichen Abhandlung (S. 17-123) bezieht sich auf Integration von Ausdrücken, die Functionen von den elliptischen Hülfsfunctionen (u) (nach Weierstrass' Bezeichnung) sind.

In der Einleitung bemerkt der Verfasser: „Les nouvelles fonctions elliptiques (u) ont été introduites dans l'analyse par M. Weierstrass". Das Wort „nouvelles" scheint nicht ganz berechtigt zu sein, da Herr W. den Buchstaben benutzt haben dürfte, nur um einige Relationen zwischen den Quotienten der o-Functionen in ein Paar Formeln zusammenfassen zu können. Es erscheint darum höchst zweifelhaft, ob der Arbeit des Verfassers überhaupt wirklich ein bedeutenderer Wert beigelegt werden kann, zumal die Abhandlung kein Resultat enthält, das nicht von jedem, der desselben bedarf, aus bekannten Formeln unmittelbar abgeleitet werden kann. Dazu kommt noch, dass der Satz, dass die zwölf Functionen aus dreien von ihnen durch Vermehrung des Arguments um eine halbe Periode hervorgehen, nicht benutzt wird, obgleich dadurch der Umfang der Abhandlung sehr beschränkt werden konnte.

E.

J. VIVANTI. Démonstration d'un théorème sur les périodes de la fonction elliptique (u). Ann. de l'Éc. Norm. (3) II.

325-336.

Es wird ein elementarer Beweis für folgendes Theorem gegeben, das Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen über elliptische Functionen beweist und das sich in der Schwarz'schen Formelsammlung 1883, p. 32-33 findet: „Es giebt ein und nur ein Paar primitiver Perioden der elliptischen Function (u), welches die Bedingungen erfüllt:

wo e und e' zwei willkürlich gewählte Werte der Wurzeln e, e', e" der kubischen Gleichung

III. das Parallelogramm, dessen zwei anstossende Seiten 2,2' sind, wird durch seine kürzeste Diagonale in zwei spitzwinklige Dreiecke zerlegt.“

DE SPARRE.

M.

Sur la réduction aux fonctions elliptiques

Ergänzung der betreffenden in den Brux. Soc. sc. Ann. VIII. B. 97-120 (F. d. M. XVI. 1884. 402) veröffentlichten Arbeit, wo der Verfasser in einfacher Art den Fall behandelt hatte, dass das Polynom unter dem Wurzelzeichen alle Wurzeln reell hat. Er untersucht jetzt der Reihe nach das Problem der Reduction, 1) wenn der Radicand vom vierten Grade ist und imaginäre Wurzeln hat, 2) wenn der Radicand vom dritten Grade ist und imaginäre Wurzeln besitzt, 3) wenn der Radicand vom dritten Grade ist und reelle Wurzeln hat. Dieser Fall wird einfacher behandelt, als dies geschähe, wenn man ihn als Grenze desjenigen ansahe, wo der Radicand vom vierten Grade ist. Als Anwendung löst Herr de Sparre das Problem der Bewegung des Kreispendels. Mn. (Lp.)

G. BATTAGLINI. Intorno ad un' applicazione della teoria delle forme binarie quadratiche all' integrazione dell' equazione differenziale ellittica. Rom. Acc. L. Rend. (4) I. 653-657.

3

Sind v1, v, v die Coordinaten eines Punktes M in einer Ebene, V1, V2, V, die einer Geraden m in derselben Ebene, und setzt man symbolisch

3

so durchläuft M einen Kegelschnitt K, und m umhüllt einen Kegel

kann durch Anwendung der Theorie der binären quadratischen Formen eine Relation (R) aufstellen, welche die zwei Werte t', t"

t,

des Parameters verbindet, die zu den Schnittpunkten von K

mit einer Tangente an k gehören.

Setzt man die Relation

a Ab B+ c; C = 0,

welche ausdrückt, dass M und m vereinigt liegen, in die symbolische Form:

Pi p = 0

und differentiirt sie vollständig, so erhält man nach einigen Umformungen:

Tangente m an k, so gilt die obige Gleichung für die beiden Werte x, y von die den Schnittpunkten von m mit K angehören. Durch successive Einsetzung dieser Werte und Vergleichung beider Resultate erhält man die elliptische Differentialgleichung: (ydy) V(PP') pp'

(rd.r)
V(PP') pp'

=

2

deren vollständiges Integral durch die Relation (R) unmittelbar gegeben wird, wenn man in dieselbe x, y statt t', t" setzt.

Durch Annahme specieller Tripel quadratischer Formen kann man die Formeln beträchtlich vereinfachen.

Die Entwickelung des in der vorliegenden Note kurz angedeuteten Gedankenganges bildet den Inhalt eines späteren, den gleichen Titel tragenden Aufsatzes des Verfassers (Batt. G. XXIV. 128-140).

Vi.

M. A. TYCHOMANDRITZKY.

Die Ableitung der Grundsätze

der Theorie der elliptischen Integrale unabhängig von der canonischen Form der Function unter dem Wurzelzeichen. Chark. Ges. 1883. 79-94.

(Russisch.)

In seiner Note „Ueber das Umkehrproblem der elliptischen Integrale (Math. Ann. XXII., siehe F. d. M. XV. 1883. 376, 395) hat der Verfasser gezeigt, wie man aus der Gleichung

Z(u+v)—Z(u--v)—2Z (v)

=

2k'snv.cnv.dnv.sn3u
1-k'sn'u.sn'o

"

welches als ein Ausdruck des Additionstheorems der elliptischen Integrale zweiter Gattung angesehen werden kann, zu den Functionen, Al oder allgemeiner zu den Hermite'schen fonctions intermédiaires übergeht. In dieser neuen Note hat sich der Verfasser die Aufgabe gestellt, diesen natürlichen Uebergang von den elliptischen Integralen zu den allgemeinen O-Functionen auseinanderzusetzen, ohne dass man die Function unter dem Wurzelzeichen auf die canonische Form reducirt. Er nimmt also R(x) = (x—a,)(x—a,)(x—a ̧)

und beweist die merkwürdige Identität:

Diese Identität führt dann leicht zum Theorem über die Vertauschung des Parameters und des Arguments und zum Additionstheorem zweiter Gattung. Der Uebergang von diesem Theorem zu den allgemeinen Functionen ist genau derselbe, welcher schon früher von dem Verfasser veröffentlicht worden ist.

Wi.