Andere Formeln beziehen sich auf die Theorie der zwölf Zetafunctionen, ihre q-Reihen und ihre Entwickelungen nach Potenzen von h. Die Schrift schliesst mit einer Liste von 32 unbestimmten Integralen, die in Gliedern mit den Zeta- und den elliptischen Functionen ausgewertet werden. Z. B.:

dnx dx

=-gz,x+dex, k2/1+ duæ = gz, x— csx,

dnx

u. S. W. [In späteren Schriften über den Gegenstand hat der Verfasser es passender gefunden, die Endbuchstaben s, c, d statt der Suffixe 1, 2, 3 zu gebrauchen und die Abwesenheit eines Suffixes durch n darzustellen. So werden die vier Zetafunctionen Z(x), Z,(x), Z2(x), Z, (x) geschrieben: znx, zsx, zcx, zda und die Functionen izx, gz, x, ... wie folgt: izna, gzsx,.... Aus verschiedenen Gründen passt diese Bezeichnung gut zur Bezeichnung der zwölf elliptischen Functionen.] Glr. (Lp.)

J. W. L. GLAISHER. On the square of the series in which the coefficients are the sums of the divisors of the exponents. Mess. XV. 156-163.

Vgl. Abschn. V. Cap. 2. pag. 234.

J. GRIFFITHS.

Results from a theory of transformation

of elliptic functions. Lond. M. S. Proc. XVI. 83-108.

Die hier entwickelte Theorie der Transformation basirt auf der Annahme, dass eine Transformations-Gleichung aus zwei oder mehreren Gleichungen niederen Grades zusammengesetzt ist. Die Formen, welche hier benutzt werden, sind identisch mit folgenden:

(1) y = sin(9+A+B+C+···),

sind, wenn n der Grad der Transformation und (n-1) die Anzahl der Coefficienten.

(2) y = sin (L+A+B+C+ ...),

eine irrationale Transformationsgleichung, worin

2n die Ordnung der Transformation und n-1 die Zahl der Coefficienten. Eng verbunden mit (2) ist die Gleichung

d. h.

(3) y = cos(A+B+C+···),

y = einer ganzen rationalen Function von x, dividirt durch eine ebensolche von demselben Grade. Ausserdem

die complementäre Gleichung, wo X, X1, X,, etc. Functionen von z und k.

Im ersten Teile der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Formel (4) nicht nur die Jacobi'sche rationale Transformationsgleichung

wo G1, G, ganze rationale Functionen von x' vom Grade

sind, enthält, sondern auch andere wichtige Transformationsgleichungen. Im 2ten Teile ist die Theorie der Zusammensetzung auf die Transformation der 0-Functionen angewandt und ein neues Multiplicationstheorem hergeleitet. M.

J. GRIFFITHS. On some consequences of the transformation formula y = sin (L+A+B+C+...). Lond. M. S. Proc.

und (1, x2)" = einer rationalen und ganzen Function von x von der Ordnung 2n, und

so wird gezeigt, wie die drei geraden rationalen Transformations

gleichungen

abgeleitet werden können, und zweitens, wie sich neue Resultate für die Transformation und Multiplication mit 2n für die Function sn und für die 0-Functionen ergeben.

M.

sin(L+A+B+···)

2G

zeigt sich, dass die Coefficienten der q-Reihen für

sich nur

J. W. L. GLAISHER. On the expression for the complete elliptic integral of the second kind as a series proceeding by sines of multiples of the modular angle. Phil. Mag. XIX. 504-510.

Die Reihe für E, welche der für K von Gudermann in Crelle J. XIX. 51-52 gegebenen entspricht, wird besprochen. Es wird auch bemerkt, dass die erhaltenen Resultate einen Teil eines allgemeineren Formelsystems ausmachen.

Gbs. (Lp.)

F. MERTENS. Zur Theorie der elliptischen Functionen.

Wien. Ber. XCI. 974-980.

Herr Weierstrass hat (Berl. Ber. 1883) gezeigt, dass die Grösse q sich in eine nach ganzen positiven Potenzen von k2 fortschreitende Reihe entwickeln lässt, welche für alle Werte von k', deren absoluter Betrag nicht >1 ist, convergirt. Herr Mertens zeigt, wie man zu der erwähnten Reihe unmittelbar aus dem Theorem II. Art. 37 der Fundamenta nova gelangen kann. M.

E. DE JONQUIÈRES. Sur une relation de récurrence qui se présente dans la théorie des fonctions elliptiques.

C. R. CI. 414-417.

Herr Catalan hat in einer Abhandlung über eine gewisse Entwickelung des elliptischen Integrals erster Gattung (Congrès du Havre 1877) für die dort auftretenden Coefficienten folgende Recursionsformel gefunden:

n'P-8(3n-3n+1)P2-1+128 (n-1)' P2-2 = 0

mit der Bedingung P1 = 1, und gezeigt, dass alle Zahlen Pr ganze Zahlen, multiplicirt mit 2" sind. Mit diesen Coefficienten. hat sich Herr de Jonquières weiter beschäftigt und für dieselben folgende allgemeinere Reductions formel aufgestellt:

n' P-2a (3n'-3n+1)Pn-1+22a+1(n−1)3 Pn−2 = 0, wo a irgend eine, selbst gebrochene oder negative Zahl sein kann.

M.

R. LIPSCHITZ. Déduction arithmétique d'une relation due Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite.

à Jacobi.

(Jacobi, Fundamenta art. 66 form. 5) der auf dem Nachweis

der Relation