P. APPELL. Sur une méthode élémentaire pour obtenir les développements en série trigonométrique des fonctions elliptiques. S. M. F. Bull. XIII. 13-19. H. POINCARE. Remarque sur l'emploi de la méthode précédente. S. M. F. Bull. XIII. 19-27. Die Coefficienten A, lassen sich nun auf folgende Weise finden. Aus der obigen Gleichung folgt welche für n = 0, 1, 2,... ein Gleichungssystem liefert, aus dem sich die Coefficienten finden lassen, und damit die Entwickelung Die hier angewandte Methode, wonach Herr Appell auf die Betrachtung einer unendlichen Reihe linearer Gleichungen geführt wird, die unendlich viele Unbekannte enthalten, lässt sich, wie Herr Poincaré zeigt, auch auf andere Probleme au wenden. Zu dem Zweck behandelt Herr Poincaré ein solches Gleichungssystem von rein algebraischem Gesichtspunkte aus. M. R. RUSSELL. A transformation in elliptic integrals and its application to spherical trigonometry. Quart J. XX. A. CAYLEY. An algebraic transformation. Mess. XV. 58-59. " Beweis einer Transformation, die in einem Aufsatze von Herrn Hermite vorkommt: Ueber die Theorie der Modulargleichungen" C. R. XLVIII. (1859), p. 1100. Schreibt man q für 1-2u, I für 1-2v, so wurde bei der Transformation fünften Grades die Modulargleichung von Jacobi in der Gestalt ausgedrückt: -256(1—q3)( 1 —l2){16 ql (9—ql)2+9(45—ql)(q−1)'} = 0; q−1 = 3+ql, d. h. zwischen u und die Beziehung v−8 = 1− u3), so wird die Function 2: F. ROHDE. Zur Transformation der Thetafunctionen. Hoppe Arch. (2) III. 138-213. Der Verfasser beschäftigt sich damit, für die Transformation dritter und fünfter Ordnung Relationen zwischen den transformirten und den ursprünglichen Thetafunctionen herzustellen. Für die Untersuchungen des § 2 bilden die vier Gleichungen: mit unbestimmten Coefficienten x, x' und die zwölf aus ihnen durch Aenderung von v um halbe Perioden hervorgehenden den Ausgangspunkt. Diese Gleichungen dividire man links und rechts durch 98(v, t) und forme sie so um, dass sie ausser den Quotienten: enthalten; die ersteren drücke man durch elliptische Functionen aus, indem man diese gleichzeitig durch ihre Entwickelungen in unendliche Reihen ersetzt, die letzteren entwickele man mit Hülfe unbestimmter Coefficienten y, y' nach Potenzen derselben Variablen. Durch Vergleichung der Coefficienten gleich hoher Potenzen entstehen dann aus den obigen sechzehn Gleichungen Relationen zwischen den unbestimmten Coefficienten x, x', y, y' und aus ihnen endlich durch Elimination dieser Grössen die gewünschten Gleichungen zwischen den Nullwerten der zwölf Functionen = Fa(v, t) = Far_Fa(3v, 3t) = Oar_9a(v, — ) = (α = 0, 1, 2, 3). 3 § 3 behandelt auf die nämliche Weise den Fall der Transformation fünfter Ordnung. Für den weiteren Teil der Arbeit stellt sich der Verfasser die folgende Aufgabe: Nennt man die 4p+4 aus Ja(pv, pt), Ja(v‚1‡o), да τ+ρ (e = 0, 1, ..., p − 1) für a = 0, 1, 2, 3 hervorgehenden Functionen die Repräsentanten der pten Ordnung, so sollen unter der Voraussetzung, dass p eine ungerade Primzahl ist, die Producte der Repräsentanten der (p-1)ten Ordnung mit einer beliebigen fundamentalen Theta function durch die Repräsentanten der pten Ordnung ausgedrückt werden. Die Lösung dieser Aufgabe ergiebt sich aus den zuerst von Herrn Schröter in seiner Inaugural-Dissertation, De aequationibus modularibus" aufgestellten Thetaformeln, wenn man noch die darin auftretenden Teilwerte der Repräsentanten der pten Ordnung durch diese selbst ausdrückt. Dazu bedient sich der Verfasser derjenigen Formeln, welche aus der bekannten Relation: Iz (v, t) = Σeri(u2x+2μv) 93 (pv+pμt, p3t) (u=0,1,...,p-1) das für = 0, 1, ..., p-1 entstehende System von p Gleichungen nach den auf den rechten Seiten vorkommenden Theta functionen als Unbekannten auflöst. In den §§ 5 und 6 sind die gewonnenen Formeln für die Fälle der Transformation dritter und fünfter Ordnung verwertet. Kr. A. CAYLEY. A verification in regard to the linear transformation of the theta-functions. Quart. J. XXI. 77-84. Die Bezeichnungen sind die von Smith in dessen nicht veröffentlichtem „Memoir on the Theta and Omega functions", dessen 9m, gleich dem Hermite'schen (Liouville J. III. 27-36, 1858), multiplicirt mit im, und infolge dessen tritt in dem Werte für 8, der hier gegeben wird, der Factor in auf. Wenn nämlich m = aμ+by+ab, n = cu+dv+cd, und je nachdem b positiv oder negativ, ist C. H. KUMMEL. The quadric transformation of elliptic integrals, combined with the algorithm of the arithmetico-geometric mean. Wash. Bull. VII. 102-121. Der vorliegende Aufsatz hat den Zweck, den Vorteil des Gauss'schen Algorithmus des arithmetisch geometrischen Mittels an der hier durchgeführten Transformation der elliptischen Functionen zu zeigen. M. |