F. BRIOSCHI. Le equazioni modulari nella trasformazione del terzo ordine delle funzioni iperellittiche a due variabili. Rom. Acc. L. Rend. (4) I. 769-771.

Die Transformation der hyperelliptischen Functionen von zwei Variabeln wurde 1855 begründet durch die Abhandlung des Herrn Hermite: Sur la théorie de la transformation des fonctions Abéliennes". Von den späteren Arbeiten seien genannt die drei Arbeiten von Herrn Königsberger: über die Transformation der Abel'schen Functionen erster Ordnung (Crelle J. LXIV, LXV, LXVII, 1864 1867) und Krause: Sur la transformation des fonctions hyperelliptiques de premier ordre (Acta Math. III. 153-180, F. d. M. XVI. 1884. 435). Die Untersuchungen des Herrn Krause führen auch in dem hier betrachteten Falle der Transformation dritter Ordnung auf eine grosse Zahl von Relationen, deren einige notwendigerweise eine Folge anderer sind, wenn man die Zahl der Unbekannten des Problems beschränkt.

9(01, v2), D3. (01, O2), 91 (01, V2), Do2 (V1, O2)

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02

Wenn

vier Thetafunctionen sind: die beiden ersten gerade, die andern ungerade, und 0 (v ̧, ¤2), 0 ̧, (v1, v,) etc. die transformirten Functionen bezeichnen, so hat man

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wo o̟, λ, u, v, w die 5 unbestimmten Coefficienten sind. Sind t, u die Werte von 9 (01, v2), 9, (v1, 0,) für v, = v2 = 0 und x, y, z, w die entsprechenden von 9, 94, 903, 923, so gilt der Satz: „Die Coefficienten 2, u, v der Formel für die Transformation dritter Ordnung genügen folgenden Gleichungen:

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Sind 1,μ1, v, die Werte von 2, μ, v für die supplementäre Trans

1

formation, so ist

22, +3 = 0, μμ, +3 = 0, vv, +3 = 0.

Endlich giebt Herr Brioschi Relationen für die Quadrate der Co, C1, C2, C12, welche die Werte der andern 4 geraden Functionen Do (V1, V2), F01 (V1, V2), 92 (V1, V2), 912 (1, v2) für v1 = v1 = 0 bezeichnen:

2

2

y3w3u2+x2z1t2
z++w+

und so kann man durch x, y, ... und die entsprechenden Werte der transformirten Functionen ausdrücken.

M.

DOмSCH. Die Darstellung der Flächen vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt durch hyperelliptische Functionen. Hoppe Arch. (2) I. 193-219; II. 225-264. Diss. Leipzig.

Diese in zwei Teilen veröffentlichte Abhandlung verfolgt den Zweck, die Theorie der hyperelliptischen Functionen in ähnlicher Weise für die Geometrie der im Titel genannten Flächen vierter Ordnung zu verwenden, wie dies in den bekannten Arbeiten von Klein, Borchardt, Weber, Rohn, Darboux, Staude u. a. für die Kummer'sche Fläche und das System confocaler Flächen zweiten Grades geschehen ist. Der Verfasser bemerkt vorab, dass er sich auf den Fall der Cykliden, d. h. derjenigen Flächen beschränkt, bei welchen der Doppelkegelschnitt mit dem Kugelkreis zusammenfällt, und dass diese Beschränkung nicht wesentlich ist, da sie durch eine Collineation aufgehoben werden kann. Auf zwei verschiedene Weisen lässt sich das Ziel, welches sich der Verfasser gesteckt hat, erreichen. Entweder man stellt die Coordinaten eines Punktes der Cyklide direct als hyperelliptische Functionen dar, wobei es zweckmässig ist, als Coordinaten eines Punktes seine fünf Potenzen in Bezug auf fünf ein Orthogonalsystem bildende Kugeln zu betrachten. Oder man benutzt den Umstand, dass durch einfache geometrische Transformationen Flächen zweiten Grades und Kummer'sche Flächen in Cykliden

abergeführt werden können, infolge dessen die bekannten Darstellungen der ersteren Flächen sich auf die Cyklide übertragen lassen. Der Verfasser wählt diesen letzteren Weg und verlegt dadurch den Schwerpunkt seiner Untersuchung auf das Gebiet der Geometrie.

Der erste Teil der Abhandlung enthält zunächst eine austährliche Besprechung der Transformation, welche das System confocaler Flächen zweiten Grades in ein System confocaler Cykliden überführt. Es bedeute K eine fest angenommene Kugel, P einen beliebigen Punkt des Raumes. Man fasse die Polarbene des Punktes P, genommen in Bezug auf K, als eine Kugel mit unendlich grossem Radius auf und bestimme in dem Büschel von Kugeln, welches durch K und bestimmt ist, die beiden Kugeln vom Radius Null. Die Mittelpunkte P', P" der letzteren lasse man nun dem Punkte P entsprechen. Diese einzweideutige Punktcorrespondenz ist es, welche dem ersten Teile der Abhandlung zu Grunde liegt. Mit ihrer Hülfe werden einerseits die gestaltlichen Verhältnisse der Cykliden und einiger auf ihnen liegenden Curven untersucht, andererseits die von Herrn Darboux gegebenen und von Herrn Staude weiter verfolgten Sätze, welche aus der Anwendung der hyperelliptischen Functionen auf das System confocaler Flächen zweiten Grades entspringen, auf die Cykliden übertragen. An die Stelle der gemeinsamen Tangenten zweier confocalen Flächen zweiten Grades treten dabei die gemeinsamen doppelt-berührenden Kreise zweier confocalen Cykliden.

Der zweite Teil der Abhandlung beginnt mit der Untersuchung der bekannten Lie'schen Transformation des GeradenRaumes in den Kugel-Raum. Es handelt sich namentlich darum, die durch diese Transformation vermittelte Abbildung der Kummer'schen Fläche auf die Cyklide genau zu untersuchen. Nachdem dieses geschehen ist, vermag der Verfasser nicht nur die Verteilung hyperelliptischer Parameter von der Kummer'schen Fläche auf die Cyklide zu übertragen, sondern auch diejenigen Curven näher zu bestimmen, welche durch gewisse zwischen jenen Parametern festgesetzte Gleichungen definirt werden.

Dabei ist zu bemerken, dass der Verfasser den drei verschiedenen Parameter-Verteilungen entsprechend, welche für die Kummer'sche Fläche studirt worden sind, ebensoviele verschiedene Darstellungen der Cyklide erhält.

Um die Art der Sätze, welche der Verfasser ableitet, an einem Beispiel zu illustriren, führe ich folgenden Satz an:

„Setzt man die 16 9-Functionen gleich Null, so werden hierdurch auf der Cyklide bestimmt: entweder 5 Curven 4ter, eine Curve 8ter und 10 Curven 16ter Ordnung; oder 4 Curven 8ter und 12 Curven 4ter Ordnung oder endlich 16 Gerade, von denen jede einzelne den Kugelkreis trifft. Und zwar tritt der erste, zweite oder dritte Fall ein, je nachdem die erste, zweite oder dritte Art der Parameterverteilung gewählt worden ist."

In einem Schlusscapitel entwickelt der Verfasser einige auf die Kummer'sche Fläche bezüglichen Sätze, welche aus der Bemerkung entspringen, dass das System confocaler Flächen 2ten Grades in ein System von Kummer'schen Flächen übergeführt werden kann, indem man die Transformationen des ersten und zweiten Teiles der Abhandlung hinter einander anwendet. Besonders bemerkenswert erscheinen hier die Schliessungssätze, bei welchen an Stelle eines Polygons, also einer geschlossenen Reihe von Geradenstücken, eine geschlossene Reihe von Hyperboloid-Stücken tritt. Hz.

E. PICARD.

(4) I. 87-128.

Sur les fonctions hyperabéliennes. Jordan J.

Unter den Functionen von zwei unabhängigen Variabeln mit einer Gruppe linearer Transformationen in sich hat Herr Picard in früheren Abhandlungen (Acta Math. I. II. IV.) eine erste Klasse, die hyperfuchs'schen Functionen" studirt, welche eine discontinuirliche Gruppe von Substitutionen

zulassen. Es handelt sich hier um die Untersuchung von „hyper

zukommt.

Die Untersuchungen fassen eine Reihe kurzer Publicationen in den Comptes rendus (vgl. F. d. M. XVI. 1884. 447-449)

zusammen.

Bilden unter den obigen Substitutionen die Substitutionen der und die der 7 je für sich eine discontinuirliche Gruppe, so wird man zu den schon von Poincaré studirten „Fuchs'schen Functionen geführt. Im allgemeinen aber wird die einzelne Gruppe continuirlich sein können, nur so, dass die Vereinigung der beiden Gruppen (für die Substitutionen der und der 7) eine discontinuirliche Gruppe bildet.

Eine ausgedehnte Klasse dieser Gruppen ergiebt sich aus der Betrachtung gewisser indefiniter quaternärer quadratischer Formen f, die sich auf die Gestalt

reduciren lassen. Ihnen lässt sich eine definite quadratische Form

p = (n−n.)(§—§。) (u; +u;—u;—u;)

+2 Norm [(7-§)u, −(1+§n)u,+(§+n)u,+(1−§n)u,] associiren, in der §, ŋ zwei complexe Parameter, §, 7, die zu

conjugirten Grössen bedeuten und wobei -5, 7-7, positiv, ist. Deutet man nun §='+i§", ŋ=n'+in", als Coordinaten in einem vierdimensionalen Raum, so lässt sich ein bestimmtes Gebiet von „Punkten (,) definiren, für welches die Form und damit auch f reducirt" ist. Dieses Gebiet bildet den Fundamentalraum einer Gruppe von Substitutionen der §. 7, welche sich als von der obigen Form 1 erweisen. Dies Gebiet lässt sich teils analytisch, durch die Discussion der Begrenzungsflächen, teils im Sinne der Analysis situs studiren durch die Fixirung