fortschreiten, zu bekommen, benutzt der Verfasser die Methode, welcher sich Herr C. Neumann bei der Entwickelung in Reihen nach Kugel- und Bessel'schen Functionen bedient hatte. Methode beruht auf der bekannten Formel von Cauchy: Diese wo die Coefficienten bei P(1, x) geschlossene Integrale sind. Die Entwickelung findet statt für alle Werte der Veränderlichen, die den Punkten innerhalb einer Ellipse mit den Brennpunkten +1 entsprechen, wenn die Function f(x) selbst eindeutig, endlich und stetig innerhalb dieser Ellipse ist. Weiter zeigt der Verfasser, wie die geschlossenen Integrale durch reelle zwischen den Grenzen +1 ersetzt werden können, und erhält dann für die Entwickelung der Function f(x) die Formel: Diese allgemeine Methode enthält als specielle Fälle die berühmte Reihe von Laplace und die Fourier'schen Cosinus- und Sinus-Reihen. (Hinsichtlich der früheren Litteratur, die dem Verfasser nicht bekannt gewesen zu sein scheint, vergleiche die Bemerkungen im vorhergehenden Referat. Red.) N. LINDSKOG. En rings rörelse i en vätska. Upsala. Universitets årsskrift 1885. (4) +44 Seiten. Auch als Inauguraldissertation publicirt. Die Abhandlung besteht aus drei Abteilungen. In der ersten Abteilung untersucht der Verfasser die von Hi (Transactions of the Royal Society of London Vol. 172, part. III. 1881) sogenannten „zonal toroidal functions" (F. d. M. XIV. 1882. 799-800), die bekanntlich als Kugelfunctionen mit der Ordnungszahl n− { betrachtet werden können. Die zweite Abteilung enthält einige allgemeine Sätze der Hydrodynamik, die hauptsächlich aus Neumann's „Hydrodynamischen Untersuchungen" (1883) entnommen sind. Die dritte Abteilung endlich behandelt die Bewegung eines Ringes („Torus") in einer nicht zusammendrückbaren Flüssigkeit; der Ring wird als längs seiner Axe beweglich angenommen. Die Bewegungsgleichung wird mittels Einführung dipolarer Coordinaten und mit Benutzung von „zonal toroidal functions" erhalten. E. K. A. ANDREIEFF. Ueber die Entwickelung einer Function in eine Reihe nach Functionen, die den Legendre'schen ähnlich sind. St. Petersb Abh. LI. (Russisch.) Wenn man das bestimmte Integral wo (%) zwischen den Grenzen sein Zeichen micht ändert, in einen Kettenbruch entwickelt, so bilden die aufeinander folgenden Nenner der Näherungsbrüche , eine Reihe von Functionen, die den Legendre'schen ähnlich sind. Der Verfasser stellt sich nun die Aufgabe, den allgemeinen Ausdruck des Restes bei der Entwickelung jeder gegebenen Function f(x) in eine Reihe nach den Functionen zu finden, und erhält für diesen Rest Ra zwei Formeln: wovon abhängt und bei a<x<b auch a<§<b, bei x<ab dagegen <<b, bei a<b<x endlich a<< x wird. Es wird dann die Anwendung des gefundenen Resultates zur Ableitung der Tschebyscheff'schen Formel gemacht, welche in der folgenden Weise sich darstellt: (siehe F. d. M. XV. 1883. 222, 238). Hier liegen 7 Hier liegen, und 72 zwischen den Grenzen a und b. Wi. E. V. COATES. Bessel's functions of the second order. Quart. J. XXI. 183-192. Für die Bessel'sche Function zweiter Art mit dem imaginären Argument iz findet der Verfasser das folgende Integral (1) Y„ (ix) = (−i)" ƒ ̃” exch4 ch(ng) dq, wo ch den hyperbolischen Cosinus bezeichnet. Das Resultat, das übrigens nicht neu ist (cf. Heine Kugel functionen, zweite Auflage, T. I 247, 248), folgt daraus, dass obiges Integral der Differentialgleichung der Bessel'schen Functionen genügt und für 0 unendlich wird. Aus dem Integral wird eine Anzahl x = von Recursionsformeln für Y, (ix) hergeleitet, die mit bekannten Eigenschaften der Bessel'schen Functionen erster Art genau übereinstimmen. Ein merkwürdiger Zusammenhang besteht zwischen der obigen Integraldarstellung Y, (ix) und einer anderen, die der Verfasser abgeleitet hat (F. d. M. XVI. 1884. 453, 454). Setzt man 1)"T(n 1) (2), Y. (ir) = (-1) ("+4)_2="/cos(shop) ch n x-n 0 ch−2" qp. dq, während zum Unterschiede das Integral (1) mit 1Y, (ix) bezeichne wo J, die Bessel'sche Function erster Art ist. Ferner wird gezeigt, wie aus dem Integral (1) folgt, dass Y(ix) log x einer Reihenentwickelung mitgeteilt, die nach den Functionen J mit den Argumenten x, 2x, 3x, ... fortschreitet. für x = O endlich ist. Schliesslich wird ein Beispiel Wn. E. PAPPERITZ. Zur algebraischen Transformation der hypergeometrischen Functionen. Leipz. Ber. 60-69. Die Note soll einen Beitrag zur Lösung des allgemeinen Problems geben, die algebraischen Integrale der Kummer'schen Differentialgleichung von welcher die Transformation der hypergeometrischen Funetionen abhängt, zu bestimmen. Die Frage nach den rationalen Integralen dieser Gleichung hat ihren Abschluss gefunden durch die Abhandlung des Herrn Goursat: „Sur les intégrales rationnelles de l'équation de Kummer", C. R. XCVIII, 419-422, 609-613 und Klein Ann. XXIV. 445-460 (F. d. M. XVI. 1884. 269). Der Herr Verfasser gelangt zu einer Verallgemeinerung des Resultates des Herrn Goursat. Die ausführliche Entwickelung soll in den Math. Annalen veröffentlicht werden. M. N. ZININE. Die Function Gamma und die Function Omega. Warschau. 1884. (Russisch.) |