Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Capitel 1. Principien der Geometrie. G. CANTOR. Ueber verschiedene Theoreme aus der Theorie der Punktmengen in einem n-fach ausgedehnten stetigen Raume G. Acta Math. VII. 105-124. Diese Arbeit bildet einen vorläufigen Abschluss der längeren Reihe von Untersuchungen des Verfassers über Punktmengen, über welche in den früheren Bänden dieses Jahrbuchs berichtet worden ist. Zuerst (§ 1) wird eine Reihe von Definitionen und Sätzen über abgeschlossene Punktmengen wiederholt, welche teils vom Verfasser, teils von Bendixson und Phragmén schon früher aufgestellt worden sind. Diese Sätze werden dann (§ 2) auf beliebige, nicht abgeschlossene Punktmengen ausgedehnt. Hierbei ergiebt sich, dass bei einer solchen Punktmenge sich gewisse wesentlich verschiedene Bestandteile unterscheiden lassen, für die nun (§ 3) besondere Bezeichnungen und Namen eingeführt werden. Nachdem noch die neu erhaltenen Resultate wieder rückwärts für abgeschlossene Punktmengen specialisirt worden sind, giebt der Verfasser in einem Schlussworte Auskunft über diejenigen noch dunklen Punkte der mathematischen Physik, für deren Aufhellung die Untersuchungen über Punktmengen förderlich zu sein scheinen. Er erläutert namentlich seine Ansicht über den Zusammenhang der Theorie der Punktmengen mit derjenigen der Körper- und Aether-Atome und stellt die Hypothese auf, dass die Körpermaterie von „erster", die Aethermaterie von ,zweiter Mächtigkeit" sei. Es mag bei dieser Gelegenheit darauf hingewiesen werden, dass eine vollständige, auf denselben physikalischen Grundanschauungen, wie sie hier vom Verfasser adoptirt werden, beruhende atomistische Naturerklärung von Grassmann (Die Lebenslehre oder Biologie. Stettin 1881. Referat in Hoffmann Z. XIV. 537) durchgeführt worden ist. Schg. E. PHRAGMÉN. Ueber die Begrenzung von Continua. Acta Math. VII. 43-48. Der Verfasser beweist den Satz: „Ist die Punktmenge P die vollständige Begrenzung eines Continuums (im Weierstrass'schen Sinne) A, und existiren in der Ebene Punkte, die ausserhalb A liegen, so muss irgend ein Teil von P zusammenhängend sein." Das zu diesem Zweck eingeschlagene Verfahren enthält gleichzeitig einen einfacheren Beweis für einen vom Verfasser bereits 1884 in der Stockh. Oefv. (F. d. M. XVI. 1884. 333) bewiesenen specielleren Satz. Zum Schluss wird der obige Satz auf den Raum von n Dimensionen ausgedehnt. Schg. J. BENDIXSON. Sur la puissance des ensembles parfaits de points. Stockh. Vetensk. Bihang IX. 15 S. Es wird bewiesen, dass alle perfecten Punktmengen, die in einem continuirlichen Raum von n Dimensionen liegen, dieselbe Mächtigkeit haben, und zwar die Mächtigkeit der Menge aller Zahlen zwischen 0 und 1. E. J. BENDIXSON. Un théorème auxiliaire de la théorie des ensembles. Stockh. Vetensk. Bihang IX. 7 Seiten. Das Theorem, das bewiesen wird, ist dieses: Wenn A ein von der Punktmenge P vollständig begrenztes Continuum im Gebiete der Veränderlichen ist und die Punktmenge P ihre Derivirte P' enthält, wenn ferner P, ein Teil von P ist, der auch seine Derivirte P enthält, so kann man immer vom Continuum A eine isolirte Punktmenge Q, absondern derart, dass Q'1 = P,. E. A. HARNACK. Ueber den Inhalt von Punktmengen. Klein Ann. XXV. 241-250. Auf Grund der Definition einer discreten Punktmenge (Punktmenge vom Inhalte Null) werden eine Reihe von (zum Teil von Herrn G. Cantor herrührenden) Sätzen über die Beziehung des Inhaltes einer Punktmenge P zu dem einer Ableitung P) bewiesen. Weiter wird, und zwar gültig für Punktmengen von beliebiger Dimension, die Definition des Inhaltes und eine Methode zur Bestimmung desselben gegeben, wobei sich auch die Frage nach der Eindeutigkeit dieser Bestimmung für verschiedene zur Herleitung verwandte Grenzprocesse [eine Frage, auf welche zuerst Stolz (Klein Ann. XXIII., F. d. M. XVI. 1884. 333) aufmerksam gemacht hat] entscheidet. Eine Anmerkung bezeichnet die Stellung des Verfassers zu der von Cantor eingeführten Unterscheidung des „Uneigentlich-" und des Eigentlich-Unendlichen". Dk. M. LERCH. Beitrag zur Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Prag. Ber. 1884. 176-178. (Böhmisch.) Beschäftigt sich mit diesbezüglichen Sätzen von Weierstrass, Picard und Cantor. Std. O. STOLZ. Das letzte Axiom der Geometrie. Ber. d. naturw. medic. Vereins in Innsbruck. XV. 25-34. Der Verfasser empfiehlt die Axiome der Geometrie als gültig für einen hinreichend kleinen Raum aufzustellen, so dass sie die Grenzen der Erfahrung nicht überschreiten. Hiernach würde also der Satz, dass nur eine gerade Verbindung zweier Punkte möglich ist, nicht ausschliessen, dass die verlängerte Gerade in sich selbst zurückläuft. Das Parallelenaxiom wird hier vertreten durch den Satz, dass ein Viereck von lauter rechten Winkeln existirt. Auf diesen folgt eine Reihe von 10 Sätzen als successive Folgerungen, welche in die euklidische Theorie überführen. Die Beweise sind im Anhang angedeutet. A. THUE. X. 304-328. H. Et bidrag til den absolute geometri. Lie Arch. Entwickelung geometrischer Sätze, die vom Parallelenaxiome unabhängig sind. L. A. THUE. Om störrelsesbegreberne areal og volum. Lie Arch. X. 181-188. Euklid setzt bekanntlich, wenn auch nicht explicite voraus, dass der Flächeninhalt einer ebenen Figur und das Volumen eines Körpers Grössen sind. Es wird versucht, die Richtigkeit dieser Axiome wirklich zu beweisen. L. C. LADD-FRANKLIN. On the so-called d'Alembert-Carnot geometrical paradox. Mess. XV. 36-37. Auf die Erörterung zwischen den Herren Cayley und Sylvester (XIV. pag. 92 und 113; F. d. M. XVI. 1884. 462) Bezug nehmend, stellt die Verfasserin eine Betrachtung an, welche, wie sie meint, das Dunkel der Frage aufhellt. Glr. (Lp.) A. THUE. Am en Dualisme i den absolute Geometri. Zeuthen T. (5) III. 129-147. Da in der „absoluten" Geometrie zwei Gerade sich nicht immer schneiden, kann das Dualitätsprincip in dem gewöhnlichen. Sinne hier nicht gelten. Da aber für zwei sich nicht schneidende Gerade immer eine gemeinschaftliche Normale existirt, so lässt sich dennoch ein solches Princip auch hier aufstellen. Absolut bewiesene Sätze, welche Eigenschaften der Schnittgeraden oder Schnittpunkte mehrerer Ebenen aussprechen, werden im Falle, wo sie wegen der Sinnlosigkeit der erwähnten Begriffe illusorisch werden, doch bestehen bleiben, wofern man nur die Worte Punkt in einer Ebene" mit „Normalebene auf einer Ebene“ und „Gerade in einer Ebene" mit „Normalgerade auf einer Ebene" vertauscht. Gm. W. KILLING. Die nichteuklidischen Raumformen in analytischer Behandlung. Leipzig. Teubner. XII u. 264 Seiten. Dieses Werk giebt unter Zugrundelegung einer einheitlichen Methode und in systematischer Anordnung eine zusammenhängende Darstellung alles dessen, was bisher vom Verfasser selbst und zahlreichen anderen Autoren auf dem Gebiete der nichteuklidischen Geometrie geleistet worden ist. Der erste der beiden Hauptteile ist der dreidimensionalen Geometrie gewidmet und behandelt die Geometrien der verschiedenen Raumformen In gemeinschaftlicher Darstellung. Dies wird namentlich ermöglicht durch principielle Verwendung der Weierstrass'schen Coordinaten p = cos k die für in die rechtwinkligen, resp. Polar-Coordinaten der euklidischen Geometrie übergehen, während positive und negative endliche Werte von k' der Riemann'schen, resp. Lobatschewsky'schen Raumform entsprechen. Im zweiten Teile werden die verschiedenen Raumformen des n-dimensionalen Raumes untersucht, nachdem eine geeignete Verallgemeinerung des Weierstrass'schen Coordinatensystems auch hierzu das nötige Werkzeug geschaffen hat. Metrische und projectivische Geometrie werden hier in gleichem Masse berücksichtigt. Ein umfangreicher Abschnitt musste wegen der Reichhaltigkeit der hier vorhandenen Litteratur der Krümmungstheorie gewidmet werden. Den Schluss bildet ein umfangreicher Litteratur-Nachweis. Aus |