A. SUCHARDA. Bemerkung zur Construction der Astroidentangente. Cas. XIV. 138. (Böhmisch.)

Der Verfasser reclamirt das Wesentliche der Ameseder'schen Construction (siehe das vorige Referat), die er schon 1881 in Hoppe Arch. LXVI. 321 veröffentlicht hat, wozu die Redaction bemerkt, dass Ameseder's Manuscript 2 Jahre bei ihr gelegen habe. Std.

wo X = (x−a)(x—b) (x−c), x, = x+iy, x, = x−iy gesetzt ist, und y rechtwinklige Cartesische Coordinaten bedeuten. Die Curven sind von der sechsten Ordnung, und drei Curven des Systems gehen durch einen Punkt und schneiden sich dort unter Winkeln von 60°. Der Verfasser liefert eine vollständige Behandlung der Curven und ihrer orthogonalen Trajectorien. Glr. (Lp.)

FR. MACHOVEC. Ueber eine besondere Art von Curven. Cas. XIV. 15. (Böhmisch.)

Der Verfasser entwickelt mit Hülfe der Aequipollenzen einfache Constructionen der Normalen für Curven von folgendem Entstehungsgesetze:

1. Es seien A und B zwei Curven, o ein Punkt der Ebene und a resp. b die Durchschnittspunkte eines beliebigen Strahles des Büschels o mit jenen Curven. Trägt man von jedem Punkt b aus unter einem bestimmten Winkel a zu ob die Länge bc = oa auf, so liegen die Punkte c auf einer Curve C, von welcher die Konchoide einen speciellen Fall bildet.

2. Es seien A', A und B drei Curven, o ein Punkt der

Ebene, und a' resp. a und b die Durchschnittspunkte eines beliebigen Strahles des Büschels o mit jenen Curven. Trägt man von jedem Punkte b aus unter einem bestimmten Winkel a zu ob die Länge bc = a' a auf, so liegen die Punkte c auf einer Curve C, welche allgemeiner ist als die früher angeführte.

Bezeichnet man die Radienvectoren der Curven A, A' und B mit qa resp. ga und o̟, so ist in der Schreibweise der Aequipollenzen:

Einen Punkt für die Normale der Curve C im Punkt erhält man, wenn man von dem Endpunkte der polaren Subnormale der Curve B im Punkte b aus unter dem Winkel a zu dieser Subnormale im ersten Falle die polare Subnormale der Curve A im Punkte a und im zweiten Falle die Differenz der polaren Subnormalen der Curven A' und A in den Punkten a' und a aufträgt.

Zu diesen Curven gehören auch die bekannten Curven von folgendem Entstehungsgesetze:

Es seien A und B zwei Curven, o ein Punkt der Ebene und a, b die Durchschnittspunkte eines beliebigen Strahles des Büschels o mit jenen Curven. Teilt man die Strecke ab nach einem bestimmten Verhältnis v, so erhält man als Ort der Teilungspunkte eine mit den unter 1 angeführten in enger Beziehung stehende Curve. Ihr Radiusvector wird nämlich durch die Gleichung

ausgedrückt. Die Construction ihrer Normalen folgt also aus der früher angeführten Regel.

Std.

J. RICHARD. Solution de question 1518. Nouv. Ann. (3) IV. 526Es ist eine ebene Curve zu finden derart, dass die Projection des Krümmungshalbmessers in einem Punkte M auf eine

feste Gerade dem Teil der Tangente proportional ist, welcher zwischen M und der festen Geraden enthalten ist. Die Gleichung der Curve wird aufgestellt und der Hinweis hinzugefügt, dass man zu derselben Curve bei der Behandlung der folgenden Frage gelangt: Ein Punkt durchläuft in gleichförmiger Bewegung eine Gerade; ein zweiter Punkt bewegt sich in jedem Momente auf den ersten beweglichen Punkt zu mit constanter Geschwindigkeit; welche Bahn beschreibt der zweite bewegliche Punkt? (Lehmus in Crelle J. I. 61).

J. NEUBERG. Question 257. Mathesis V. 89-92.

=

Schn.

Theorie der Kochleoide gw a sino, der inversen Curve der Quadratrix, die Herr Catalan im Jahre 1857 ersonnen hat, und mit der die Herren Bentheim und Falkenburg sich auch beschäftigt haben. (F. d. M. XV. 1883. 618). Mn. (Lp.)

Capitel 3.

Analytische Geometrie des Raumes.

A. Allgemeine Theorie der Flächen und Raumcurven. L. GEISENHEIMER. Näherungsformeln für Inhalt und Oberfläche niedriger Flächenabschnitte. Schlömilch Z.

XXX. 25-35.

Um einen Punkt einer krummen Fläche, Anfangspunkt der xyz, herum wird ein beliebig begrenztes Flächenstück von unendlich kleiner Ausdehnung betrachtet, zwei conjugirte Tangenten sind Axen der x, y, die beliebig gerichtet. Das Flächenstück wird auf die Berührungsebene in der z-Richtung projicirt. Dann ergiebt sich als Inhalt des Körpers zwischen der Fläche, ihrer Projection und den Grenzstrahlen der Ausdruck

z

I = √ K(TxxQx+Tyyy);

Qy

wo K die Krümmung der Fläche, gr. gy die Krümmungsradien der Normalschnitte in den z- und y-Richtungen, Tr und Tyy die Trägheitsmomente der Projection bedeuten. Ausser diesem Körper wird das sog. Zweieck, welches durch die Fläche und zwei sich in einer Sehne schneidende Ebenen begrenzt wird, berechnet. Es ist annähernd des umschriebenen Prismas, genau für parabolische Querschnitte. Die Oberfläche O des erstern Körpers wird, wenn F ihre normale Projection bezeichnet, ausgedrückt durch

wo g die Sehne bedeutet. Es folgen dann die Berechnungen eines flachen Kreuzgewölbes und Klostergewölbes.

H.

R. v. LILIENTHAL. Allgemeine Eigenschaften von Flächen, deren Coordinaten sich durch die reellen Teile dreier analytischer Functionen einer complexen Veränderlichen darstellen lassen. Kronecker J. XCVIII. 131--147.

Sind U, V, W drei analytische Functionen der complexen Variabeln u = (p+qi), welche durch Uebergang zum conjugirten Argument= (p-qi) die conjugirten Werte U,, V1, W, annehmen, so sind

x = {(U+U1), y = {(V+V,), ≈ =
≈ = {(W+W1)

die Coordinaten eines mit den reellen Parametern p und q variirenden reellen Flächen-Punktes, und

1, (u-u,), 1, (v-v,), 1, (w_w,)
(U—U,),

2i

2i

2i

die Coordinaten eines mit denselben Parametern variirenden Punktes einer zweiten Fläche. Diese soll als mit der ersten verwandt bezeichnet werden. Es ist aber möglich, dass ein und

dieselbe Fläche sich in verschiedener Form auf die angegebene Art darstellen lässt, dass sie also auch mehrere verwandte Flächen besitzt. Die Untersuchung erstreckt sich nun auf folgende Punkte. Es wird zuerst die Bedeutung der p und q für eine Fläche festgestellt, dann werden die Beziehungen zwischen verwandten Flächen betrachtet. Endlich werden die Bedingungen aufgestellt, unter denen sich eine Fläche in der betrachteten Weise darstellen lässt.

Zum Behuf der bequemen Durchführung der Betrachtung werden ausser den bekannten Gauss'schen Fundamentalgrössen, bezogen auf die Parameter p und q, welche bezeichnet werden mit A, B, C, D, D', D', E, F, G,

die analogen Ausdrücke für die Parameter u und v eingeführt, für welche die Zeichen

welche der Analogie nach mit D' bezeichnet werden müsste, wird nicht betrachtet. Alsdann ergeben sich die Relationen

A-2iA etc.,

D=2i(D+D'), D' = 2(D-D'), D' = 2i(D+D"),
E = E+2F+G, F = i(EG),

EG-F4('-EG).

G = (E-2F+G),

Aus diesen Relationen lassen sich einige einfache Folgerungen ziehen, z. B.

Sind p und q orthogonale Parameter, so ist & reell.