Sind die Parameter zugleich isometrisch (also Abbildungsparameter) (E G), so ist E = 0.

=

Sind p und q Krümmungsparameter, so ist & reell, Drein

imaginär.

Sind p und q asymptotische Parameter, so ist D reell. Die Krümmung eines Normalschnittes wird gegeben durch die Formel Ddu2+D" dv❜

1

1

2

VEGF Edu*+2F du dv+Gdv2

Bedeuten ferner e, und e2 die Hauptkrümmungsradien, so wird

Das Krümmungsmass x ist bei diesen Flächen stets negativ. Demselben lassen sich noch die bekannten Formen geben, in welchen nur die Fundamentalgrössen erster Ordnung vorkommen. Besonders einfach wird, wenn = 0 ist, die Fläche also zu den Minimalflächen gehört,

1 d'InF x = 8 дидо

Die Differentialgleichung der Krümmungslinien ist

FD du2+(GD-ED") du dv-FD" dv2 = 0,

die der asymptotischen Linien

Ddu2+D" dv2 = 0.

Bei dem Uebergange zu den verwandten Flächen zeigt sich, dass, wenn man für sie die entsprechenden Grössen durch den Index 1 unterscheidet,

Man kann also leicht für die verwandten Flächen die analogen Folgerungen aufstellen wie für die ursprünglichen und u. a. folgende Schlüsse ziehen. Sind p und q auf der Urfläche orthogonale Parameter, so sind sie es auch auf der verwandten.

Sind sie auf der Urfläche Krümmungsparameter, so sind sie auf der verwandten asymptotische und orthogonale Parameter. Die verwandten Flächen sind also alsdann Minimalflächen.

Das Krümmungsmass ist auf verwandten Flächen gleich. Die Normalen in entsprechenden Punkten sind parallel, die Tangenten der Parametercurven sind alternirend parallel, so dass die Tangente an p = const. in der einen Fläche der Tangente von q const. der andern parallel ist, die entsprechenden Winkel aber Supplemente sind. Entsprechende Flächenstücke sind gleich (die Abbildung ist also äquivalent) und sie haben gleiche Total-Krümmung (Curvatura integra). Zum Schlusse des zweiten Teiles wird die Aufgabe besprochen, die Form der erzeugenden Functionen so zu bestimmen, dass die Fläche eine gegebene Linie enthalte, wofür eine sehr einfache Lösung gegeben wird. Soll nämlich auf der Fläche die Curve

x= f(u), y = = f1(u), z = f,(u)

liegen, so setze man

U = f(u)+iq(u), V = f, (u)+iq, (u),_W= f2(u)+ip,(u). Im dritten Teil handelt es sich um die Frage, unter welchen Bedingungen eine Fläche sich in der angegebenen Weise darstellen lässt. Diese Frage kommt darauf hinaus:

Sind x, y, z als Functionen der Parameter p, und q, gegeben, so müssen diese so als Functionen von p und q bestimmt werden, dass

Die Ausführung der nötigen Transformationen führt dann auf die etwas verwickelte Bedingung, von welcher noch einige Anwendungen gemacht werden.

A.

J. N. HĄZZIDAKIS. Flächenerzeugung durch Krümmungslinien.

Kronecker J. XCVIII. 49-67.

Die Abhandlung behandelt die Aufgabe: Unter welchen Bedingungen ist eine bewegte Curve von unveränderlicher Gestalt stets Krümmungslinie der von ihr erzeugten Fläche?

Es ergiebt sich folgendes Resultat:

I. Soll die Curve eine (nicht sphärische) Raumcurve sein, so muss die erzeugte Fläche eine beliebige Schraubenfläche sein, also eine Fläche, die bestimmt ist durch die Gleichungen

Umgekehrt erfüllt jede Krümmungslinie einer Schraubenfläche diese Bedingung. (Jede sphärische Curve dagegen ist Krümmungslinie der Kugel, auf welcher sie liegt, und bleibt es bei einer beliebigen Bewegung auf der Kugel.)

II. Soll die erzeugende Curve eine ebene Curve sein, so ergeben sich verschiedene Lösungen, nämlich:

bleibt Krümmungslinie der von ihr erzeugten Fläche, wenn sich ihre Ebene so bewegt, dass die x-Axe Hauptnormale, die y-Axe Tangente einer Leitcurve mit constanter erster Krümmung (aber beliebiger Torsion) bleibt. Die erzeugte Fläche hat die Gleichungen

Hierin bedeuten a, B, y die Richtungscosinus der Tangente der Leitcurve, ds das Bogen-Element derselben, die Accente die Ableitungen nach s.

Fortschr. d. Math. XVII. 2.

46

bleibt Krümmungslinie der erzeugten Fläche, wenn sie sich so bewegt, dass die durch die y-Axe hindurchgehende und auf der Ebene der Curve lotrechte Ebene stets eine beliebige Cylinderfläche berührt, so dass die Berührungslinie und y-Axe parallel

bleiben. Die Winkelgeschwindigkeit

dw

um die Berührungs

dt

R, wo R den Abstand der Berührungslinie von

3) Jede ebene Curve bleibt Krümmungslinie der von ihr erzeugten Fläche, wenn ihre Ebene auf einer beliebigen abwickelbaren Fläche rollt. [Die erzeugte Fläche ist dann eine sogenannte Kanalfläche.]

4) Der Kreis bleibt auch dann Krümmungslinie der von ihm erzeugten Fläche, wenn eine durch einen seiner Durchmesser zur Kreisebene senkrecht gelegte Ebene auf einer beliebigen abwickelbaren Fläche rollt.

Die Erweiterung dieser Resultate hat folgenden Ausgangspunkt.

Jede unendlich kleine Bewegung eines starrer Systems kaun angesehen werden als Schraubenbewegung um eine Axe.

die Gleichungen dieser Axe, dann sind die Componenten der Verrückung eines beliebigen Punktes dargestellt durch

und die Analogen, wo do die unendlich kleine Drehung, do die unendlich kleine Verschiebung bedeutet. Soll nun eine Curve Krümmungslinie der erzeugten Fläche sein, so muss die Verschiebung jedes ihrer Punkte senkrecht stehen zu der Normale der Fläche. Alle Normalen längs einer Krümmungslinie aber liegen auf einer abwickelbaren Evolutenfläche der Curve. Hierdurch lässt sich die Bedingung aufstellen. Doch lassen sich die weiteren Entwickelungen nicht ohne ausgedehnte Rechnungen wiedergeben.

A.

A. BRILL. Bemerkungen über pseudosphärische Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen.

300-303.

Klein Ann. XXVI.

Herr Suworoff hat (Darb. Bull. (1) IV. 180. 1873) für einen Raum von drei Dimensionen den Differentialausdruck für das Linienelement untersucht und gefunden, dass bei Transformation der Variabeln gewisse aus den Coefficienten des Linienelementes gebildete Ausdrücke invariante Eigenschaften haben, entsprechend dem Krümmungsmass in einem Raume von zwei Dimensionen. Der dritte dieser invarianten Ausdrücke ist nun, wie Herr Brill zeigt, wesentlich positiv, wenn die Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen aus einer ebenen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen durch eine Gleichung f(x, y, z, t) = 0 ausgeschieden wird. Der Verfasser schliesst hieraus, dass es hiernach unmöglich ist, solche Räume, für welche vermöge der eigentümlichen Beschaffenheit ihres Linienelementes die fragliche Invariante eine wesentlich negative Grösse wird, aus einem ebenen Raume von vier Dimensionen durch eine Gleichung zwischen vier Variabeln auszusondern. Insbesondere können demnach Räume von constantem negativem Krümmungsmass nicht in einem ebenen Raume von vier Dimensionen enthalten sein; dagegen steht nichts im Wege, einen pseudosphärischen Raum durch zwei Gleichungen aus einer ebenen Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen auszuscheiden. Letzteres wird am Schlusse ausgeführt.

W. St.