und wo λ, u, v, ..., r, s, t,... ganze Zahlen sind, die der Gleichung genügen D. HILBERT. Ueber die invarianten Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen. Inaug.-Diss. Königsberg i. Pr. R. Leupold. Behufs Ergründung der invarianten Eigenschaften der Kugelfunctionen wird eine Reihe von neuen Sätzen über die Darstellbarkeit von In- und Covarianten binärer Formen vorausgeschickt, von denen wir folgende hervorheben. mit „Ist f n! = a die gegebene Grundform, und bedeutet f den multiplicirten ¿ten, nach der Variabeln x genommenen Differentialquotienten von f, so bleibt eine Invariante, resp. das Leitglied einer Covariante von f ungeändert bei Ersetzung der Coefficienten a; durch die fi“. „Jede homogene und isobare Function C der f; ist eine Covariante von f, wenn sie der Differentialgleichung genügt". C heisst dann eine Derivante von f. 0 Dies wird auf ein System von Grundformen erweitert. Sodann wird die Operation D, nebst einer in gewissem Sinne parallelen 4, einer eingehenden Untersuchung unterworfen. Der Process (D4-4D) ändert eine Derivante nur um einen Zahlenfactor. Die Derivante C heisst vom ten Range, wenn in der Reihe DC, D'C, D3C, ... D'+1C die erste, identisch verschwindende Bildung ist. Dann lässt sich C auf nur eine Weise als Summe von (+1) speciellen Derivanten darstellen. Dies wird benutzt, um verschiedene, aequivalente Kriterien für ein Formensystem zu ermitteln, für welches eine gewisse Simultancovariante identisch Null ist. Nach Aufstellung einzelner interessanter Polareigenschaften der Kugelfunction P(x) wird die Aufgabe, die invarianten Bedingungen für die Möglichkeit der Transformation einer binären Form mit allgemeinen Coefficienten in die Kugelfunction P(x) zu eruiren, vollständig gelöst. Dabei ergiebt sich eine gemeinsame Covariantenrelation der Kugelfunctionen aller Ordnungen. Den Schluss bilden zwei allgemeine Sätze über Potenzdarstellung einer binären Form. My. S. MERTENS. Ueber die Invarianten einer und zweier bilinearer Formen. Krak. Denkschr. X. (Polnisch.) Zweck dieser Abhandlung ist: 1) Die Bestimmung der allgemeinen Gestalt der Invarianten der in Bezug auf die 2n Veränderlichen x, x,... 2n, sowie auf die 2n Veränderlichen y, y,... Y2n linearen, ihr Zeichen bei Vertauschungen von x und y wechselnden Form: - ... 4(xy) = α1,2(X,Y2 — x2Y1) +α1,3 (X, Y ̧ −x ̧Y1) + ··· +α1,2n(X1Y2n—X2nY1) als ganz unabhängig von einander zu betrachten sind. 2) Die Bestimmung der zwei solchen Formen gemeinschaftlichen Invariante. Dn. D. HILBERT. Ueber eine allgemeine Gattung irrationaler Invarianten und Covarianten für eine binäre Grundform geraden Grades. Leipz. Ber. 427-438. Ist a eine gegebene binäre Grundform, so soll ar als irrationale Covariante von a so bestimmt werden, dass man identisch hat: (απ, α) = λακ, wo 2, ein constanter Factor, eine irrationale Invariante, d. i. Wurzel einer algebraischen Gleichung ist, deren Coefficienten J rationale Invarianten sind: Diese Form wird explicite als Determinante aufgestellt. Im allgemeinen gehört zu jeder Wurzel 2 von 4(2) = 0 eine Form a. Solche +1 Formen sind linear unabhängig. Irrationale In- und Covarianten dieser Art sollen dazu dienen, für die Ausartungen einer Grundform a geeignete Kriterien zu gewinnen. J. HAMMOND. My. On the syzygies of the binary sextic and their relations. Newcomb Am. J. VII. 327-344. Eine vollständige Liste der bez. Syzygien und ihrer Relationen wird mitgeteilt. Aus den Syzygien der einfachsten Art setzen sich wieder andere linear mittels Potenzen und Producte von „Grundformen“ zusammen u. s. f. Man kann für solche Syzygien, d. h. für ihre linken Seiten (Syzyganten) erzeugende Functionen aufstellen, die von denen für Semiinvarianten in einfacher Weise abhängen. Eine eingehende Untersuchung dieser erzeugenden Functionen liefert den Beweis für die Richtigkeit und Vollständigkeit der voraufgeschickten Tabellen. My. J. HAMMOND. Syzygy tables for the binary quintic. Newcomb Am. J. VIII. 19-25. Es werden zwei Tabellen (ohne Beweis) mitgeteilt. Die erste enthält die Anzahlen der für irgend ein deg-order (bis zum Grade 36 in den Coefficienten) existirenden Syzygien, d. h. lineare Identitäten zwischen den Potenzen und Producten der 23 Grundformen a, b, c,..., w der binären Form fünfter Ordnung. Ausser der bedeutenden Erweiterung weist diese Tafel gegenüber den von Cayley und Sylvester früher angegebenen eine ziemliche Anzahl von Reductionen auf. Die zweite, grössere Tabelle bringt diese Syzygien selbst. Es macht sich die eigentümliche Erscheinung geltend, dass immer wenigstens ein Glied zweiter Dimension auftritt, und nach diesen können sämtliche Identitäten unzweideutig bezeichnet werden; z. B. ce repräsentirt die Syzygie vom niedrigsten deg-order 5.11: ai+bf-ce= 0, andrerseits wo die vom höchsten deg-order 36.0 g3u'+2g'q'u +9q-72g qu2-8q3u+432u3-16 w2 = 0. My. W. SPOTTISWOODE. On quadric transformations. Lond. M. S. Proc. XVI. 148-171. x= αξ + βξη + γης, y = a' §2 + B' §n +r'n2 eingesetzt und von der neu entstehenden Function W(, ) werden Invarianten und Covarianten berechnet. Das Gleiche geschieht mit U = ax3 + bx3y+cxy2+dy3 G. TORELLI. Sul sistema di più forme binarie cubiche. Nap. Rend. XXIV. 258-261. Für ein System von resp. 2, 3, 4, 5 kubischen binären Grundformen werden gewisse Covariantenidentitäten entwickelt, Ver allgemeinerungen von solchen, die der Herr Verfasser früher gelegentlich benutzt hatte. My. G. BATTAGLINI. Sulle forme binarie bilineari. Rom. Acc. L. Rend. (4) I. 691-699. Die geometrischen Eigenschaften einer und mehrerer projectivischer Abhängigkeiten zwischen einstufigen Grundgebilden, ihre Ausartungen (in singuläre, cyklische, periodische) u. s. f. werden durch die invarianten Beziehungen der darstellenden bilinearen Formen abgeleitet. Eine besondere Rolle spielen zwei „harmonische Projectivitäten, d. h. solche, für deren Formen die bilineare simultane Invariante verschwindet. Drei bilineare Formen werden den Coordinaten eines Punktes der Ebene, vier solche denen eines Raumpunktes proportional gesetzt, was zu einfachen Interpretationen führt. Der wesentliche Inhalt der Arbeit ist übrigens in der letztjährigen grossen Arbeit von Stéphanos (cf. das Referat F. d. M. XVI. 1884. p. 98) enthalten. My. B. IGEL. Ueber Im Anschluss an die Arbeit des Herrn Rosanes in Borchardt J. LXXVI. wird eine Reihe von Sätzen behandelt, die sich auf gewisse einfachste Combinanten eines Systems binärer Formen beziehen. Zum Ausgang dient das Theorem: „Die Hauptcombinante, d. i. die Determinante der (n-1)ten Differentialquotienten von n binären Formen nter Ordnung lässt sich als lineare ganze Function jener n Formen darstellen. Die (constanten) Coefficienten bilden Verhältnisse, die simultane Invarianten der n Formen sind". Ist az eine der n Formen, so geht durch die Operation x2 -1x1+ ··· + ( − 1)" да, ... x дам 1 aus irgend einer der erwähnten n Invarianten eine Covariante des Systems hervor. Diese ist aber zugleich eine Combinante, |